福島県立医科大学 2024年 問題1(2)
$n\ は自然数とする。x\ についての \ n\ 次多項式 \ f(x),\ g(x)\ は、異なる \ n+1\ 個の実数 \ \{x_0,\ x_1,\ \cdots , \ x_n\}\ について、$
$f(x_k)=g(x_k)\ \ を満たすものとする。このとき、すべての実数 \ x\ について、f(x)=g(x)\ \ であることを示せ。$
$F(x)=f(x)-g(x) \quad とおくと、F(x)\ は \ n\ 次以下の多項式である。$
$題意より \quad F(x_k)=f(x_k)-g(x_k)=0\ \ (k=1,\ 2,\ \cdots \ n) \quad だから$
$因数定理より \ \ F(x)\ は \ x - x_k \ \ を因数にもつ。$
$したがって \quad F(x)=a(x - x_1)(x - x_2) \cdots (x - x_n) \ \ (a\ は実数) \ \ とおける。$
$このとき \quad F(x_0)=a(x_0 - x_1)(x_0 - x_2) \cdots (x_0 - x_n)$
$ところが、F(x_0)=f(x_0)-g(x_0)=0 \quad だから$
$a(x_0 - x_1)(x_0 - x_2) \cdots (x_0 - x_n)=0$
$\{x_0,\ x_1,\ \cdots , \ x_n\}\ は異なる \ n+1\ 個の実数だから$
$x_0 - x_1 \ne 0, \ \ x_0 - x_2 \ne 0 , \ \cdots , \ x_0 - x_n \ne 0$
$したがって \quad a=0$
$よって \quad F(x) \equiv 0 \ \ となり、すべての実数 \ x\ について、f(x)=g(x)$
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