福島県立医科大学 2024年　問題1(1)


\[数の和 \ \ \sum_{n=2}^{10} 111_{(n)} \ \ を \ 5\ 進法で表せ。ここで、111_{(n)}\ は \ n\ 進法である。\]


\begin{eqnarray*} & &\sum_{n=2}^{10} 111_{(n)}\\ \\ &=&\sum_{n=2}^{10} (n^2+n+1)\\ \\ &=&\sum_{n=1}^{10} (n^2+n+1)-3\\ \\ &=&\cfrac{10 \times (10+1) \times (2 \times 10+1)}{6} + \cfrac{10 \times (10+1)}{2}+10 -3\\ \\ &=&\cfrac{10 \times 11 \times 21}{6} + \cfrac{10 \times 11}{2}+7\\ \\ &=&447 \end{eqnarray*}
$これを\ 5\ 進法で表すと$

\begin{eqnarray*} 447 &=&5 \times 89 +2\\ \\ &=&5 \times (5 \times 17 +4)+2\\ \\ &=&5 \times (5 \times (5 \times 3 +2) +4)+2\\ \\ &=&3 \times 5^3+2 \times 5^2+ 4 \times 5+2\\ \\ &=&3242_{(5)} \end{eqnarray*}

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