同志社大学(理系) 2026年　問題4


$n\ を自然数とする。数列 \ \{a_n\},\ \ \{b_n\}\ \ を次の関係式で定める。$
$\quad a_1=1,\ \ a_2=2,\ \ a_{n+2}=a_{n+1}+\dfrac{a_n}{n}\ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$\quad b_1=0,\ \ b_2=1,\ \ b_{n+2}=b_{n+1}+\dfrac{b_n}{n}\ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$また、p,\ q\ を \ 0\ でない実数とし、数列 \ \{c_n\},\ \ \{d_n\}\ \ を次で定める。$
\[\quad c_n=\dfrac{1}{(n-1)!} \int_0^1 x^ne^x dx ,\qquad d_n=(-1)^n(pa_n+qb_n)\] $ただし、0!=1 \ とする。次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ a_3,\ a_4,\ b_3,\ c_1,\ c_2\ \ の値をそれぞれ求めよ。$
\[(2)\ \ 極限値 \ \ \lim_{n \rightarrow \infty}c_n \ \ を求めよ。\] $(3)\ \ c_{n+1}+\dfrac{n+1}{n}c_n=\dfrac{k}{n!} \ \ を満たす実数 \ k\ の値を求めよ。これを用いて、$
$\quad c_{n+2}+c_{n+1}=r_nc_n \ \ を満たす \ r_n\ について、r_n\ を \ n\ の式で表せ。$
$(4)\ \ d_{n+2}+d_{n+1}=s_nd_n \ \ を満たす \ s_n \ について、s_n \ を \ p,\ q\ を含まない \ n\ の式で表せ。$
\[(5)\ \ 極限値 \ \ \lim_{n \rightarrow \infty}(b_{n+1}-b_n ) \ \ を求めよ。\]


(1)


$a_3=a_2+\dfrac{a_1}{1}=2+1=3$

$a_4=a_3+\dfrac{a_2}{2}=3+\dfrac{2}{2}=4$

$b_3=b_2+\dfrac{b_1}{1}=1+0=1$
\[c_1=\dfrac{1}{0!}\int_0^1 xe^x dx=\big [xe^x\big ]_0^1-\int_0^1 e^xdx=e-\big[e^x \big]_0^1=e-(e-1)=1\] \[c_2=\dfrac{1}{1!}\int_0^1 x^2e^x dx=\big [x^2e^x\big ]_0^1-\int_0^1 2xe^xdx=e-2c_1=e-2 \times 1=e-2\]

(2)


\[c_n=\dfrac{1}{(n-1)!} \int_0^1 x^ne^x dx \ \ において \quad f_n(x)=x^ne^x \ \ (0 \leqq x \leqq 1) \ \ とおくと\] $f_n'(x)=nx^{n-1}e^x+x^ne^x=x^{n-1}e^x(n+x) \geqq 0$

$f_n(x) \ は単調増加だから \quad f_n(x) \leqq f_n(1)=e$
\[よって \quad 　\int_0^1 x^ne^x dx \leqq \int_0^1 edx =e\] $\therefore \ \ 0 < c_n \leqq \dfrac{e}{(n-1)!}$

$n \longrightarrow \infty \ \ のとき \quad \dfrac{e}{(n-1)!} \longrightarrow 0$
\[はさみうちの原理により \quad \lim_{n \rightarrow \infty}c_n =0\]

(3)


\begin{eqnarray*} c_{n+1} &=&\dfrac{1}{n!} \int_0^1 x^{n+1}e^x dx\\ \\ &=&\dfrac{1}{n!}\big\{\big[x^{n+1}e^x\big]_0^1- \int_0^1 (n+1)x^ne^x dx\big\}\\ \\ &=&\dfrac{1}{n!}\big\{e-(n+1) \int_0^1 x^ne^x dx\big\}\\ \\ &=&\dfrac{e}{n!}-\dfrac{n+1}{n} \cdot \dfrac{1}{(n-1)!}\int_0^1 x^ne^x dx\\ \\ &=&\dfrac{e}{n!}-\dfrac{n+1}{n} c_n \end{eqnarray*}
$\therefore \ \ c_{n+1}+\dfrac{n+1}{n}=\dfrac{e}{n!}$

$したがって \quad k=e$


$c_{n+1}=-\dfrac{n+1}{n} c_n+\dfrac{e}{n!} \ \ より$

\begin{eqnarray*} & &c_{n+2}+c_{n+1}\\ \\ &=&\big\{-\dfrac{n+2}{n+1} c_{n+1}+\dfrac{e}{(n+1)!}\big\}+c_{n+1}\\ \\ &=&\big(1-\dfrac{n+2}{n+1}\big) c_{n+1}+\dfrac{e}{(n+1)!}\\ \\ &=&-\dfrac{1}{n+1} \big\{-\dfrac{n+1}{n} c_n+\dfrac{e}{n!}\big\} +\dfrac{e}{(n+1)!}\\ \\ &=&\dfrac{1}{n}c_n -\dfrac{e}{(n+1)!} +\dfrac{e}{(n+1)!}\\ \\ &=&\dfrac{1}{n}c_n \\ \end{eqnarray*}
$したがって \quad r_n=\dfrac{1}{n}$


(4)


$d_n=(-1)^n(pa_n+qb_n) \ \ より$

\begin{eqnarray*} & &d_{n+2}+d_{n+1}\\ \\ &=&(-1)^{n+2}(pa_{n+2}+qb_{n+2})+(-1)^{n+1}(pa_{n+1}+qb_{n+1})\\ \\ &=&(-1)^{n+1}p(-a_{n+2}+a_{n+1})+(-1)^{n+1}q(-b_{n+2}+b_{n+1})\\ \\ &=&(-1)^{n+1}p\big\{-(a_{n+2}-a_{n+1})\big\}+(-1)^{n+1}q\big\{-(b_{n+2}-b_{n+1})\big\}\\ \\ &=&(-1)^{n+1}p\big(-\dfrac{a_n}{n}\big) +(-1)^{n+1}q\big(-\dfrac{b_n}{n}\big)\\ \\ &=&\dfrac{(-1)^{n+2}}{n}(p a_n +g b_n )\\ \\ &=&\dfrac{(-1)^2}{n} \times (-1)^n(p a_n +g b_n )\\ \\ &=&\dfrac{d_n}{n} \end{eqnarray*}
$したがって \quad s_n=\dfrac{1}{n}$


(5)


$d_n=(-1)^n(pa_n+qb_n) \ \ より$

$d_1=-(pa_1+qb_1)=-p,\qquad d_2=pa_2+qb_2=2p+q$

$p\ ,q\ は \ 0\ でない任意の実数であるから、とくに \ \ d_1=c_1=1,\quad d_2=c_2=e-2\ \ を満たすように定めると$

$p=-1,\quad q=e$

$すると、d_1=c_1,\quad d_2=c_2,\quad d_{n+2}=-d_{n+1}+\dfrac{d_n}{n},\quad c_{n+2}=-c_{n+1}+\dfrac{c_n}{n} \ \ だから$

$数列 \ \{c_n\}\ \ と￥｛d_n\}\ は一致する。$

\[(2) より \ \ \lim_{n \rightarrow \infty}c_n =0 \ \ だから \quad \lim_{n \rightarrow \infty}d_n =0 \]
$また、数列 \ \{a_n\} \ について \quad a_1=1,\quad a_2=2,\quad a_{n+2}=a_{n+1}+\dfrac{a_n}{n} \ \ だから$

$a_3=a_2+\dfrac{a_1}{1}=2+1=3,\quad a_4=a_3+\dfrac{a_2}{2}=3+\dfrac{2}{2}=4, \cdots $

$一般に、a_n=n\ \ と推定できるので、これが正しいことを数学的帰納法で証明する。$

(i)$\ \ a_1=1,\ \ a_2=2\ \ だから \ \ n=1,\ \ n=2\ \ のとき成りたつ$

(ii)$\ \ n=k,\ \ n=k+1 \ \ のとき成りたつとすると \quad a_k=k,\quad a_{k+1}=k+1$

$このとき \quad a_{k+2}=a_{k+1}+\dfrac{a_k}{k}=k+1+\dfrac{k}{k}=k+2$

$よって\quad n=k+2 \ \ のときも成りたつ$

(i),(ii)$\ \ よりすべての自然数 \ n\ について \ \ a_n=n \ \ が成りたつ$

$以上より$

$d_n=(-1)^n(-a_n+eb_n)=-(-1)^na_n+e(-1)^nb_n \ \ だから$

$e(-1)^nb_n=d_n+(-1)^na_n$

$b_n=\dfrac{(-1)^n}{e}d_n +\dfrac{1}{e}a_n$

$\therefore\ \ \dfrac{b_n}{n}=\dfrac{(-1)^n}{e} \cdot \dfrac{d_n}{n} +\dfrac{1}{e}\cdot \dfrac{a_n}{n}$

\[ここで \quad \dfrac{a_n}{n}=1 , \qquad n \longrightarrow \infty \ \ のとき \quad \dfrac{d_n}{n} \longrightarrow 0 \ \ だから \quad \lim_{n \rightarrow }\dfrac{b_n}{n}=\dfrac{1}{e}\]
\[したがって \quad \lim_{n \rightarrow \infty}(b_{n+1}-b_n )=\lim_{n \rightarrow }\dfrac{b_{n-1}}{n-1}=\dfrac{1}{e}\]

$(研究)$

$(5)より数列 \ \{\dfrac{n}{b_n} \}\ \ は \ e\ の近似分数列であることがわかる。$

$\dfrac{2}{b_2}=2$

$\dfrac{3}{b_3}=3$

$b_4=b_3+\dfrac{b_2}{2}=1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2} \qquad \dfrac{4}{b_4}=\dfrac{8}{3}=2.6667$

$b_5=b_4+\dfrac{b_3}{3}=\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{11}{6} \qquad \dfrac{5}{b_5}=\dfrac{30}{11}=2.7272$

$b_6=b_5+\dfrac{b_4}{4}=\dfrac{11}{6}+\dfrac{3}{8}=\dfrac{53}{24} \qquad \dfrac{6}{b_6}=\dfrac{144}{53}=2.7170$

$b_7=b_6+\dfrac{b_5}{5}=\dfrac{53}{24}+\dfrac{11}{30}=\dfrac{103}{40} \qquad \dfrac{7}{b_7}=\dfrac{280}{103}=2.7184$

$b_8=b_7+\dfrac{b_6}{6}=\dfrac{103}{40}+\dfrac{53}{144}=\dfrac{2119}{720} \qquad \dfrac{8}{b_8}=\dfrac{5760}{2119}=2.7183$

$第 7項で \quad e \fallingdotseq \dfrac{280}{103}=2.7184 \ \ とかなりいい値が得られる。$


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