同志社大学(理系) 2026年　問題3


$実数 \ t\ に対して、座標平面上の領域 \ D_1,\ D_2\ および \ E\ をそれぞれ \ \ D_1:x^2+y^2-4x-8y+18 \leqq 0$
$D_2:y^2-4x-2ty+8 +t^2 \leqq 0 , \quad E:x^2+2y^2-8x-(8+2t)y+26 +t^2 \leqq |x^2-(8-2t)y+10-t^2 | \ \ で$
$定める。正の実数 \ s > 0 \ に対して、原点を通る傾き \ s\ の直線を \ \ell \ とする。次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ 直線 \ \ell \ と領域 \ D_1\ がただ \ 1\ つの共有点をもつような \ s\ の値をすべて求め、そのときの共有点の座標を$
$\quad 求めよ。$
$(2)\ \ 直線 \ \ell \ と領域 \ D_2\ がただ \ 1\ つの共有点をもつとき、s\ を \ t\ の式で表せ。$
$(3)\ \ 次の条件 \ \ $(i),(ii),(iii) $\ \ を同時に持たす点(a,\ b)\ の全体で作られる図形の面積を求めよ。$
$\qquad $(i)$ \ \ a+b \leqq |a-b| \qquad $(ii)$\ \ -1 \leqq a \leqq 1 \qquad $(iii)$\ \ -1 \leqq b \leqq 1 $
$(4)\ \ 直線 \ \ell \ と領域 \ E \ が共有点をちょうど \ 2\ つもつような \ s、\ t\ の値の組 \ (s,\ t)\ を求めよ。$


(1)

　

$D_1:x^2+y^2-4x-8y+18 \leqq 0 \ \ より \quad (x-2)^2+(y-4)^2 \leqq 2$

$直線 \ \ell \ と領域 \ D_1\ がただ \ 1\ つの共有点をもつのは$

$\ell : y=sx\ \ (s > 0)\ \ が 円 : (x-2)^2+(y-4)^2=2 \ \ に接するときだから$

$(x-2)^2+(sx-4)^2=2 \ \ は重解をもつ。$

$(s^2+1)x^2-4(2s+1)x+18=0 \hspace{5em}①$

$\dfrac{D}{4}=4(2s+1)^2-18(s^2+1)=0$

$2s^2-16s+14=0$

$s^2-8s+7=0$

$(s-1)(s-7)=0$

$s=1,\ \ 7$

$①の重解は \quad x=\dfrac{2(2s+1)}{s^2+1} \ \ だから$

$s=1 \ のとき \quad x=\dfrac{6}{2}=3, \quad y=1 \times 3=3$

$s=7 \ のとき \quad x=\dfrac{2 \times 15}{50}=\dfrac{3}{5}, \quad y=7 \times \dfrac{3}{5}=\dfrac{21}{5}$

$よって共有点の座標は \quad s=1 \ \ のとき \ \ (1,\ 3),\qquad s=7 \ \ のとき \ \ (\dfrac{3}{5},\ \dfrac{21}{5})$


(2)

　

$D_2:y^2-4x-2ty+8 +t^2 \leqq 0 \ \ より \quad (y-t)^2 \leqq 4(x-2)$

$直線 \ \ell \ と領域 \ D_2\ がただ \ 1\ つの共有点をもつのは$

$\ell : y=sx \ \ (s > 0)\ が 放物線 : (y-t)^2=4(x-2) \ \ に接するときだから$

$(sx-t)^2 =4(x-2) \ \ は重解をもつ。$

$s^2x^2-2(st+2)x+t^2+8=0$

$\dfrac{D}{4}=(st+2)^2-s^2(t^2+8)=0$

$4st+4-8s^2=0$

$2s^2-ts-1=0$

$s=\dfrac{t \pm \sqrt{t^2+8}}{4} \quad s > 0 \ \ だから \quad s=\dfrac{t +\sqrt{t^2+8}}{4}$


(3)

　

$a+b \leqq |a-b| \ \ は$

$a \geqq b \ \ のとき \quad 　a+b \leqq a-b \qquad b \leqq 0$

$a < b \ \ のとき \quad 　a+b \leqq b-a \qquad a \leqq 0$

(i),(ii),(iii) $\ \ を同時に持たす点(a,\ b)\ の全体で作られる図形は$

$右図のとおりで、その面積は \quad 3$


(4)


$E:x^2+2y^2-8x-(8+2t)y+26 +t^2 \leqq |x^2-(8-2t)y+10-t^2 | \ \ を$

$a+b \leqq |a-b| \ \ のような形で表すと$

\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} a+b=x^2+2y^2-8x-(8+2t)y+26 +t^2 \hspace{5em}①\\ a-b=x^2-(8-2t)y+10-t^2 \hspace{10em} ②\\ \end{array} \right. \]
$①+②より \quad 2a=2x^2+2y^2-8x-16y+36$

$①-②より \quad 2b=2y^2-8x-4ty+16+2t^2$

$よって \quad a=x^2+y^2-4x-8y+18,\qquad b=y^2-4x-2ty+8+t^2$

$したがって \quad a,\ b\ \ は \ D_1,\ \ D_2\ \ の境界であることがわかる。$

$(3)より \quad a+b \leqq |a-b| \ \ の表す領域は \quad 「a > 0\ \ かつ \ \ b > 0」\ でない部分、$

$すなわち \quad a \leqq 0 \quad または \quad b \leqq 0 \quad の部分であるから \quad E=D_1 \cup D_2$

　

$直線 \ \ell \ と領域 \ E \ が共有点をちょうど \ 2\ つもつのは$

$\ell\ と \ E\ が共通接線をもつ場合である。$

$\ell:y=sx \ と \ D_1\ がただ \ 1\ つの共有点をもつ(接する)のは$

$(1)より \ \ s=1,\ 7\ \ のときである。$

(i)$\ \ s=7 \ \ のとき$

$共通接線は \ \ y=7x\ \ だからこれが \ D_2\ に接するのは$

$y^2-4x-2ty+8+t^2=0 \quad に代入して$

$49x^2-4x-14tx+8+t^2=0$

$49t^2-2(7t+2)x+t^2+8=0$

$\dfrac{D}{4}=(7t+2)^2-49(t^2+8)=0$

$28t=388 \qquad \therefore \ \ t=\dfrac{388}{28}=\dfrac{97}{7}$

$このとき重解は$

$x=\dfrac{7t+2}{49}=\dfrac{99}{49},\qquad y=7 \times \dfrac{99}{49}=\dfrac{99}{7}$

$よって接点は\ \ (\dfrac{99}{49},\ \dfrac{99}{7})$

$\ell:y=sx \ と \ D_1\ の接点は(1)より \ \ (\dfrac{3}{5}, \ \dfrac{21}{5})\ だから異なる \ 2\ 点である。$

　

(ii)$\ \ s=1 \ \ のとき$

$共通接線は \ \ y=x \ \ だからこれが \ D_2\ に接するのは(2)より$

$2s^2-ts-1=0 \ \ の場合であるから、s=1 \ \ を代入して$

$ 2-t-1=0 \qquad \therefore \ \ t=1$

$このとき重解は$

$s^2x^2-2(st+2)x+t^2+8=0 \ \ より \quad x^2-6x+9=0$

$(x-3)^2=0 \quad \therefore \ \ x=3$

$よって \ \ 接点は \ (3,\ 3)\ となり(1)で求めた \ D_1\ との接点に一致する。$

$したがって \quad \ell \ と \ E\ は共有点が \ 1\ つである。$

(i),(ii)$\ \ より直線 \ \ell \ と領域 \ E \ が共有点をちょうど \ 2\ つもつのは$

$(s,\ t)=(7,\ \dfrac{97}{7})\ \ のときである。$


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