同志社大学(理系) 2025年　問題Ⅱ


$n\ を自然数とする。数列 \ \{a_n\},\ \ \{b_n\}\ を次の関係式で定める。$
$\quad a_1=1,\ \ a_2=1,\ \ a_{n+2}=a_{n+1} + \cfrac{10(9-n)}{(n+2)(n+1)} a_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots )$
$\quad b_n=a_{n+1}+\cfrac{9-n}{n+1} a_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$次の問いに答えよ。ただし、必要であれば、a_n > 0 \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)\ \ であることを証明なしに用いてよい。$
$(1)\ \ a_3,\ \ b_1,\ \ b_2\ \ を求めよ。$
$(2)\ \ b_{n+1}=c_nb_n \ \ を満たす \ c_n \ について、c_n \ を \ n\ の式で表せ。$
$(3)\ \ 数列 \ \{b_n\}\ の一般項を求めよ。$
$(4)\ \ すべての自然数 \ n\ について、a_n \leqq a_{m_0} \ \ が成り立つような自然数 \ m_0\ を考える。このような \ m_0\ と$
$\quad (10!)a_{m_0}\ の値の組をすべて求めよ。$


(1)


$a_3=a_2 + \cfrac{10(9-1)}{(1+2)(1+1)} a_1=1+\cfrac{80}{3 \times 2}\times 1=\cfrac{43}{3}$

$b_1=a_{2}+\cfrac{9-1}{1+1} a_1=1+\cfrac{8}{2} \times 1=5$

$b_2=a_{3}+\cfrac{9-2}{2+1} a_2=\cfrac{43}{3}+\cfrac{7}{3} \times 1=\cfrac{50}{3}$


(2)

\begin{eqnarray*} c_n &=&\cfrac{b_{n+1}}{b_n}\\ \\ &=&\cfrac{a_{n+2}+\dfrac{9-(n+1)}{n+2} a_{n+1}}{a_{n+1}+\dfrac{9-n}{n+1} a_n}\\ \\ &=&\cfrac{a_{n+1} + \dfrac{10(9-n)}{(n+2)(n+1)} a_n + \dfrac{8-n}{n+2} a_{n+1}}{a_{n+1}+\dfrac{9-n}{n+1} a_n}\\ \\ &=&\cfrac{\dfrac{10}{n+2}a_{n+1} + \cfrac{10(9-n)}{(n+2)(n+1)} a_n }{a_{n+1}+\cfrac{9-n}{n+1} a_n}\\ \\ &=&\cfrac{\dfrac{10}{n+2}\big(a_{n+1} + \cfrac{9-n}{n+1} a_n\big) }{a_{n+1}+\cfrac{9-n}{n+1} a_n}\\ \\ &=&\cfrac{10}{n+2}\\ \end{eqnarray*}

(3)


$(2) より \quad \cfrac{b_{n+1}}{b_n}=\cfrac{10}{n+2} \quad だから$

\begin{eqnarray*} b_n &=&\cfrac{b_n}{b_{n-1}} \times \cfrac{b_{n-1}}{b_{n-2}} \times \cdots \cfrac{b_2}{b_1} \times b_1\\ \\ &=&\cfrac{10}{n+1} \times \cfrac{10}{n} \times \cdots \cfrac{10}{3} \times 5\\ \\ &=&\cfrac{10}{n+1} \times \cfrac{10}{n} \times \cdots \cfrac{10}{3} \times \cfrac{10}{2}\\ \\ &=&\cfrac{10^n}{(n+1)!} \end{eqnarray*}

(4)


$a_{n+2}=a_{n+1} + \cfrac{10(9-n)}{(n+2)(n+1)} a_n \quad より$

$a_{n+2}　-a_{n+1} = \cfrac{10(9-n)}{(n+2)(n+1)} a_n $

$a_n > 0 \quad だから$

(i)$\ \ n=1,\ 2,\ \cdots ,\ 8 \ \ のとき \quad a_{n+2} > a_{n+1}$

(ii)$\ \ n=9 \ \ のとき \quad a_{n+2} = a_{n+1}$

(ii)$\ \ n=10,\ 11,\ \cdots \ \ のとき \quad a_{n+2} < a_{n+1}$

$したがって \quad a_1=a_2 < a_3 < \cdots < a_9 < a_{10}=a_{11} > a_{12} > a_{13} > \cdots $

$すべての自然数 \ n\ について、a_n \leqq a_{m_0} \ \ が成り立つような自然数 \ m_0 \ は$

$m_0=10,\ \ 11$

$このとき$

$b_n=a_{n+1}+\cfrac{9-n}{n+1} a_n \ \ に(3)で求めた \ \ b_n=\cfrac{10^n}{(n+1)!}\ \ を代入して$

$a_{n+1}=-\cfrac{9-n}{n+1} a_n +\cfrac{10^n}{(n+1)!}$

$よって$

\begin{eqnarray*} & &a_{n+1} -a_n\\ \\ &=& -\big(\cfrac{9-n}{n+1}+1\big) a_n +\cfrac{10^n}{(n+1)!}\\ \\ &=& -\cfrac{10}{n+1} a_n +\cfrac{10^n}{(n+1)!}\\ \\ &=& \cfrac{1}{(n+1)!}(10^n -10 \times (n!) \ a_n)\\ \end{eqnarray*}
$この式で \ n=10\ とおくと$

$a_{11}-a_{10}= \cfrac{1}{11!}(10^{10} -10 \times (10!) \ a_{10})$

$a_{11}=a_{10} \quad だから \quad 10^{10} -10 \times (10!) \ a_{10}=0$

$10 \times (10!) \ a_{10}=10^{10}$

$(10!) \ a_{10}=10^9$

$以上より \quad m_0=10,\ \ 11 \quad で \quad (10!) a_{10}=(10!)a_{11}=10^9$


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