電気通信大学 2025年　問題4


$次の条件によって定められる数列 \ \{a_n\},\ \ \{b_n\},\ \ \{c_n\}\ \ を考える。$
$\quad a_1=1,\quad a_{n+1}=b_n+c_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots )$
$\quad b_1=2,\quad b_{n+1}=c_n+a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots )$
$\quad c_1=3,\quad c_{n+1}=a_n+b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots )$
$このとき、以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ a_2,\ \ b_2,\ \ c_2\ \ を求めよ。$
$(2)\ \ a_n-b_n,\ \ c_n-b_n \ \ をそれぞれ \ n\ の式で表せ。$
$(3)\ \ 数列 \ \ \{b_n\} \ \ の一般項を求めよ。$
$(4)\ \ 数列 \ \ \{a_n\} \ \ の一般項と数列 \ \ \{c_n\}\ \ の一般項を求めよ。$
\[(5)\ \ 無限級数 \ \ \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{a_n}{c_n}\ \ の収束、発散について調べ、収束するときにはその和を求めよ。\]


(1)


$a_2=b_1+c_1=2+3=5$

$b_2=c_1+a_1=3+1=4$

$c_2=a_1+b_1=1+2=3$


(2)


$a_{n+1}-b_{n+1}=(b_n+c_n)-(c_n+a_n)=-(a_n-b_n)$

$数列 \ \{a_n-b_n\}\ は公比 \ (-1)の\ 等比数列だから$

$a_n-b_n=(a_1-b_1)(-1)^{n-1}=(-1)(-1)^{n-1}=(-1)^n \hspace{5em}①$

$c_{n+1}-b_{n+1}=(a_n+b_n)-(c_n+a_n)=-(c_n-b_n)$

$数列 \ \{c_n-b_n\}\ は公比 \ (-1)\ の等比数列だから$

$c_n-b_n=(c_1-b_1)(-1)^{n-1}=1\times (-1)^{n-1}=(-1)^{n-1} \hspace{5em}②$


(3)


$a_{n+1}+b_{n+1}+c_{n+1}=(b_n+c_n)+(c_n+a_n)+(a_n+b_n)=2(a_n+b_n+c_n)$

$数列 \ \{a_n+b_n+c_n\}\ は公比 \ 2\ の等比数列だから$

$a_n+b_n+c_n=(a_1+b_1+c_1)2^{n-1}=6\cdot 2^{n-1}=3\cdot 2^n \hspace{5em}③$

$①＋②より \quad a_n+c_n-2b_n=(-1)^n+(-1)^{n-1}=(-1)(-1)^{n-1}+(-1)^{n-1}=0 \hspace{5em}④$

$③-④より \quad 3b_n=3\cdot 2^n \qquad \therefore b_n=2^n \hspace{10em}⑤$


(4)


$⑤を①に代入して$

$a_n=b_n+(-1)^n=2^n+(-1)^n$

$⑤を②に代入して$

$c_n=b_n+(-1)^{n-1}=2^n-(-1)^n$


(5)


\[一般に \ \ 級数 \ \ S_n=\sum_{k=1}^n p_k \ \ が \ \ n \longrightarrow \infty \ \ のとき 収束して和 \ S\ をもつとき\]
\[p_n=S_n-S_{n-1} \ \ だから \quad 　\lim_{n \longrightarrow \infty}p_n=S-S=0\] \[この対偶をとると \quad \lim_{n \longrightarrow \infty}p_n \ne 0 \ \ ならば \quad \sum_{k=1}^{\infty} p_k \ \ は発散する。\] $\dfrac{a_n}{c_n}=\dfrac{2^n+(-1)^n}{2^n-(-1)^n}=\dfrac{1+(-\dfrac{1}{2})^n}{1-(-\dfrac{1}{2})^n}$
\[n \longrightarrow \infty \ \ のとき \quad \dfrac{a_n}{c_n} \longrightarrow 1 \ \ だから \quad \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{a_n}{c_n}\ \ は発散する。\]

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