千葉大学(理系) 2024年　問題4(3)


$正の整数 \ n,\ p,\ q\ が、p > q\ \ かつ \ \ {}_pC_2 + {}_qC _1=n \ \ を満たすとする。$
${}_mC_2 \leqq n \ \ となる最大の整数 \ m\ を求めよ。$


${}_mC_2 \leqq n \ \ に \ \ {}_pC_2 + {}_qC _1=n \ \ を代入して$

${}_mC_2 \leqq {}_pC_2 + {}_qC _1 $

$\cfrac{m(m-1)}{2} \leqq \cfrac{p(p-1)}{2} + q$

$p > q \ \ だから$

$\cfrac{m(m-1)}{2} < \cfrac{p(p-1)}{2} + p$

$m^2-m < (p^2-p) +2p$

$m^2-m -p(p+1)<0$

$(m+p)(m-(p+1))<0$

$よって \quad 2 \leqq m < p+1$

$p \ は \ \ p \geqq 2 \ \ を満たす正の整数だから、これを満たす最大の整数は \quad m=p$


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