千葉大学(理系) 2024年　問題4(2)


$複素数平面上の \ 3\ 点P(z),\ Q(-1),\ R(\sqrt{3}-1-i)\ \ が正三角形をなすとき、複素数 \ z\ を求めよ。$
$ただし、i\ は虚数単位である。$


　


$(1)\ \ 点Q\ を中心に、点R\ を \ \dfrac{\pi}{3}\ 回転した点をP_1(z) \ とすると、$

$\quad \triangle P_1QR \ は正三角形となる。$

$\quad \cfrac{z_1+1}{(\sqrt{3}-1-i)+1}=\cos \dfrac{\pi}{3} + i\sin \dfrac{\pi}{3}$

$\quad \cfrac{z_1+1}{\sqrt{3}-i}=\cfrac{1}{2}+ \cfrac{\sqrt{3}}{2}i$

$\quad z_1=-1 +\cfrac{1}{2}(1+\sqrt{3}i)(\sqrt{3}-i)=\sqrt{3} -1 +i$


$(2)\ \ 点Q\ を中心に、点R\ を \ -\dfrac{\pi}{3}\ 回転した点をP_2(z) \ とすると、$

$\quad \triangle P_2QR \ は正三角形となる。$

$\quad \cfrac{z_2+1}{(\sqrt{3}-1-i)+1}=\cos \big(-\dfrac{\pi}{3}\big) + i\sin \big(-\dfrac{\pi}{3}\big)$

$\quad \cfrac{z_2+1}{\sqrt{3}-i}=\cfrac{1}{2}- \cfrac{\sqrt{3}}{2}i$

$\quad z_2=-1 +\cfrac{1}{2}(1-\sqrt{3}i)(\sqrt{3}-i)=-1-2i$


$求める複素数 \ z\ は \quad \sqrt{3} -1 +i,\quad -1-2i$


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