千葉大学(理系) 2024年　問題4(1)


\[定積分 \quad \int_0^{\scriptsize{\dfrac{2\pi}{3}}} x^2\sin x dx \quad を求めよ。\]


\begin{eqnarray*} & &\int_0^{\scriptsize{\dfrac{2\pi}{3}}} x^2\sin x dx\\ \\ &=&- \big[x^2\cos x \big]_0^{\scriptsize{\dfrac{2\pi}{3}}} + \int_0^{\scriptsize{\dfrac{2\pi}{3}}} 2x \cos x dx\\ \\ &=&-\cfrac{4}{9}\pi ^2 \cos \cfrac{2}{3}\pi + 2 \Big\{\big[x\sin x \big]_0^{\scriptsize{\dfrac{2\pi}{3}}} - \int_0^{\scriptsize{\dfrac{2\pi}{3}}} \sin x dx \Big\}\\ \\ &=&-\cfrac{4}{9}\pi ^2 \times \big(- \cfrac{1}{2}\big) + 2 \times \cfrac{2}{3}\pi \sin \dfrac{2}{3}\pi + 2\big[\cos x \big]_0^{\scriptsize{\dfrac{2\pi}{3}}}\\ \\ &=&\cfrac{2}{9}\pi ^2 + \cfrac{4}{3}\pi \times \cfrac{\sqrt{3}}{2} + 2\big( \cos \dfrac{2}{3}\pi - 1 \big)\\ \\ &=&\cfrac{2}{9}\pi ^2 + \cfrac{2\sqrt{3}}{3}\pi + 2\big( - \cfrac{1}{2} - 1 \big)\\ \\ &=&\cfrac{2}{9}\pi ^2 + \cfrac{2\sqrt{3}}{3}\pi -3 \end{eqnarray*}


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