千葉大学(理系) 2020年 問題3
$袋の中に1から5までの整数が書かれたカードが1枚ずつ入っている。その中から1枚取り出して戻す$
$という試行を繰り返す。n回目に取り出したカードに書かれた整数をa_nとし、S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$
$とする。n回目に初めてS_nが3の倍数になる確率をp_nとする。$
$\ (1)\ \ p_2,\ \ p_3\ を求めよ。$
$\ (2)\ \ n \geqq 2 \ \ のとき、p_n\ を求めよ。$
$\ (3)\ \ n \geqq 4 \ \ とする。S_1,\ S_2,\ S_3\ が3の倍数でなく \ a_3=5\ であったとき、n回目に初めて \ S_n\ が3の倍数になる$
$\quad 条件付き確率 \ q_n\ を求めよ。$
$(解説)$
$(1)\ \ 求める根元事象を順序対ですべて書き出してみると問題の意味が把握できるようになります。$
$(2)\ \ (1)の方法ではn回の確率を求めるのは困難ですので、樹形図で調べます。このとき和S_nが3の倍数$
$\quad となることを3を法とする剰余系で表すと少しは簡単になります。$
$(3)\ \ \ a_3=5の状態から試行が再スタートすると考えます、$
(1)
$n回目に初めてS_nが3の倍数になる事象をT_n とする。T_n=\{(a_1,a_2,\cdots ,a_n)\}と表すことができる。$
$\quad T_1=\{(3)\} \quad で \quad p_1=\cfrac{1}{5}$
$\quad T_2=\{(1,2),(1,5),(2,1),(2,4),(4,2),(4,5),(5,1),(5,4)\} \quad で \quad p_2=\cfrac{8}{25}$
$\quad T_3=\{(1,1,1),(1,1,4),(1,3,2),(1,3,5),(1,4,1),(1,4,4),(2,2,2),(2,2,5),(2,3,1),(2,3,4),(2,5,2),(2,5,5),$
$\hspace{4em} (4,1,1),(4,1,4),(4,3,2),(4,3,5),(4,4,1),(4,4,4),(5,2,2),(5,2,5),(5,3,1),(5,3,4),(5,5,2),(5,5,5)\}$
$\hspace{4em}で \qquad p_3=\cfrac{24}{125}$
$問題にしている事象はS_nが3の倍数になるかどうかですから、3を法とする剰余系で考えると少し簡単になります。$
$すなわち、a_i=1,\ \ 4 \ \ のとき \ \ b_i=1,\ \ a_i=2,\ \ 5 \ \ のとき \ \ b_i=2,\ \ a_i=3\ \ のとき \ \ b_i=0 $
$とし、確率変数を \ a_i\ から \ b_i\ に変更します。$
$あらためてn回目に初めて \ S_n\ が3の倍数になる事象を \ T_n \ とすると \quad T_n=\{(b_1,b_2,\cdots ,b_n)\}\ \ と表すことができます。$
\[ 確率分布は \qquad \begin{array}{c|c} b_i & 0\quad \ 1 \quad \ 2 & 計 \\ \hline P & \ \cfrac{1}{5} \quad \cfrac{2}{5} \quad \cfrac{2}{5} & 1 \\ \end{array} \] $T_2=\{(1,2),\ \ (2,1)\}\ \ で \ \ p_2=\cfrac{2}{5} \times \cfrac{2}{5} \times 2=\cfrac{8}{25}$
$T_3=\{(1,0,2),\ \ (1,1,1),\ \ (2,0,1),\ \ (2,2,2)\} \ \ で \ \ p_3=(\cfrac{2}{5} \times \cfrac{1}{5} \times \cfrac{2}{5} +\cfrac{2}{5} \times \cfrac{2}{5} \times \cfrac{2}{5})\times 2=\cfrac{24}{125}$
$このようにとても簡単になります。$
$しかし、それでも順序対で対応できるのはせいぜいT_3ぐらいまででしょうから、一般化するにはこれを$
$そのまま樹形図で表現することです。$
$P_2について、樹形図は右図のとおりで$
$\quad 1-2 \ \ のルートで \quad \cfrac{2}{5} \times \cfrac{2}{5}$
$\quad 2-1 \ \ のルートで \quad \cfrac{2}{5} \times \cfrac{2}{5}$
$この2つは互いに排反だから和をとって$
$\qquad p_2=\cfrac{2}{5} \times \cfrac{2}{5}\times 2=\cfrac{8}{25}$
$P_3について、樹形図は右図のとおりで$
$\quad 1-0-2 \ \ のルートで \quad \cfrac{2}{5} \times \cfrac{1}{5} \times \cfrac{2}{5}$
$\quad 1-1-1 \ \ のルートで \quad \cfrac{2}{5} \times \cfrac{2}{5} \times \cfrac{2}{5}$
$\quad 2-0-1 \ \ のルートで \quad \cfrac{2}{5} \times \cfrac{1}{5} \times \cfrac{2}{5}$
$\quad 2-2-2 \ \ のルートで \quad \cfrac{2}{5} \times \cfrac{2}{5} \times \cfrac{2}{5}$
$これら4つは互いに排反だから和をとって$
$\qquad p_3=\cfrac{4}{125}+\cfrac{8}{125}+\cfrac{4}{125}+\cfrac{8}{125}=\cfrac{24}{125}$
(2)
$S_nの樹形図を考えましょう。$
$S_3を例にS_1からS_2への変化について調べてみましょう。$
\[
\hspace{1em}
\left\{ \begin{array}{l}
S_1=1 \rightarrow S_2=1 \quad の変化は \ \ b_2=0\ \ だからこの確率は \ \ \cfrac{1}{5}\\
S_1=1 \rightarrow S_2=2 \quad の変化は \ \ b_2=1\ \ だからこの確率は \ \ \cfrac{2}{5}\\
\end{array} \right.
\]
\[
\hspace{1em}
\left\{ \begin{array}{l}
S_1=2 \rightarrow S_2=1 \quad の変化は \ \ b_2=2\ \ だからこの確率は \ \ \cfrac{2}{5}\\
S_1=2 \rightarrow S_2=2 \quad の変化は \ \ b_2=0\ \ だからこの確率は \ \ \cfrac{1}{5}\\
\end{array} \right.
\]
$つまり、S_1=1 \ \ でも \ \ S_1=2\ \ でも \ \ S_2\ \ への変化の確率は \ \ \cfrac{1}{5}+\cfrac{2}{5}=\cfrac{3}{5}\ \ であることがわかる。$
$大事なことは、これがS_1からS_2への変化ばかりでなく、一般にS_iからS_{i+1}でいえることである。$
$また、S_2\ から \ S_3\ への変化については、S_3=0\ であることから$
$\quad S_2=1 \ \ のときは \ \ b_3=2 \ \ だからこの確率は \ \ \cfrac{2}{5}$
$\quad S_2=2 \ \ のときは \ \ b_3=1 \ \ だからこの確率は \ \ \cfrac{2}{5}$
$つまり、S_2=1 \ \ でも \ \ S_2=2\ \ でも \ S_3\ への変化の確率は \ \cfrac{2}{5}\ であることがわかる。$
$これも一般に \ \ S_{n-1}\ から \ S_n\ でいえることである。$
$以上のことを踏まえて、P_nについては$
$\qquad b_1 \rightarrow b_2 \underbrace{ \rightarrow b_3 \rightarrow \cdots \rightarrow b_{n-1}}_{\substack{繰返し}}\rightarrow b_n \quad だから$
$\qquad P_n=2\times \cfrac{2}{5} \times (\cfrac{3}{5})^{n-2} \times \cfrac{2}{5}=\cfrac{8}{25}(\cfrac{3}{5})^{n-2}$
(3)
$S_1,\ S_2,\ S_3\ が3の倍数でなく、a_3=5\ となる事象は、下の樹形図の左側の部分で(S_1,\ S_2,\ S_3)が$
$(1,\ 2,\ 1)\ の場合と \ (2,\ 2,\ 1)\ の場合がある。$
$この条件のもとで、n回目に初めてS_nが3の倍数になるには$$S_3=1 \ \ からスタートして、S_4=1\ \ または \ \ S_4=2\ \ が(n-4)回繰返され、最後に \ \ S_n=0\ \ となるときである。$
$したがって、その確率は$
$\qquad q_n=(\cfrac{3}{5})^{n-4} \times \cfrac{2}{5}= \cfrac{2}{5}(\cfrac{3}{5})^{n-4}$
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