千葉大学(理系) 2018年 問題5
\[(1)\ \ 次の定積分を求めよ。\quad f(x)=\int _0^x e^{t-x} \sin (t+x)dt\] \[(2)\ \ (1)で求めたxの関数f(x)に対し、極限値\lim_{x \rightarrow 0} \cfrac{f(x)}{x} を求めよ。\]
$(解説)$
$(1)は \ t\ で積分するので \ x\ は定数扱いです。$
$(2)はまともに計算したらまずうまくいきません。f'(0)\ の定義に\ 結びつけるのがうまい手です。$
(1)
\begin{eqnarray*} f(x) &=&\int _0^x e^{t-x} \sin (t+x)dt\\ \\ &=&e^{-x}\int _0^x e^t \sin (t+x)dt\\ \\ &=&e^{-x}\Big\{\big[e^t\sin (t+x)\big]_0^x -\int _0^x e^t \cos (t+x)dt \Big\}\\ \\ &=&e^{-x}\Big\{e^x\sin 2x-\sin x -\big[e^t \cos (t+x)\big]_0^x-\int _0^x e^t \sin (t+x)dt \Big\}\\ \\ &=&e^{-x}\Big\{e^x\sin 2x-\sin x -e^x \cos 2x +\cos x \Big\}-\int _0^x e^{t-x} \sin (t+x)dt \\ \\ &=&\sin 2x-e^{-x}\sin x -\cos 2x +e^{-x}\cos x -f(x)\\ \\ \end{eqnarray*} $よって \quad f(x)=\cfrac{1}{2}\big(\sin 2x-\cos 2x-e^{-x}(\sin x -\cos x)\big)$
(2)
$f(x)は微分可能だから$
\begin{eqnarray*} f'(x) &=&\cfrac{1}{2}\big(2\cos 2x+2\sin 2x+e^{-x}(\sin x -\cos x)- e^{-x}(\cos x +\sin x) \big)\\ \\ &=&\cos 2x+\sin 2x-e^{-x}\cos x \\ \end{eqnarray*}
$f(0)=0,\quad f'(0)=0 \quad より$
\[\lim_{x \rightarrow 0} \cfrac{f(x)}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \cfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(0)=0\]
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