$x=a\cos ^4 \theta ,\quad y=a\sin ^4 \theta \ \ (a > 0)\ \ で表される曲線とx軸、y軸で囲まれる面積$



$曲線 \ \ x=a\cos ^4 t ,\quad y=a\sin ^4 t \ \ (a > 0)\ \ で表される曲線は放物線でした。$

$\quad 詳しくは \ \ $$x=a\cos ^4 \theta ,\quad y=a\sin ^4 \theta \ \ で表される曲線$$\ \ をご覧ください。$

　
$この曲線と \ x\ 軸、y\ 軸で囲まれる領域の面積 \ S\ を求めてみましょう。$
\begin{eqnarray*} S &=& \int _0^a y dx\\ \\ &=& \int _{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}}^0 a\sin ^4 t \cdot 4a\cos ^3 t (-\sin t)dt\\ \\ &=&4a^2 \int _0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}} \sin ^5 t \cos ^3 t dt\\ \\ &=&4a^2 \int _0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}} \sin ^5 t (1- \sin ^2 t) \cos t dt\\ \end{eqnarray*} \[\qquad \sin t=u \quad とおくと \quad \cos t dt=du \qquad \begin{array}{c|c} t & 0 \ \ \rightarrow \scriptsize{\cfrac{\pi}{2}} \\ \hline u & 0 \ \ \rightarrow 1 \\ \end{array} \] \begin{eqnarray*} S &=&4a^2 \int _0^1 u^5(1-u^2) du\\ \\ &=&4a^2 \int _0^1 (u^5-u^7) du\\ \\ &=&4a^2 \big[\cfrac{u^6}{6}-\cfrac{u^8}{8}\big]_0^1\\ \\ &=&4a^2 \big(\cfrac{1}{6}-\cfrac{1}{8}\big)\\ \\ &=&\cfrac{a^2}{6} \end{eqnarray*}

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