MY MATH NOTE

　
$x=a\cos ^3 t,\quad y=a \sin ^3 t \quad で表される曲線をアステロイドといいます。$

$\qquad 詳しくは($アステロイド$)をご覧ください。$

$この図形の囲む面積 \ S\ を求めてみましょう。対称性は明らかだから$
\begin{eqnarray*} S &=&4 \int _0^a y dx\\ \\ &=&4 \int _{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}}^0 a\sin ^3 t \cdot 3a\cos ^2 t (-\sin t)dt\\ \\ &=&12 a^2 \int _0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}} \sin ^4 t \cos ^2 t dt\\ \\ &=&12a^2 \int _0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}} \sin ^4 t (1- \sin ^2 t) dt\\ \\ &=&12 a^2 \Big(\int _0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}} \sin ^4 t dt - \int _0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}} \sin ^6 t dt \big)\\ \\ &=&12 a^2\big(\cfrac{3}{4} \cdot \cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{\pi}{2} - \cfrac{5}{6} \cdot \cfrac{3}{4} \cdot \cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{\pi}{2} \big)\\ \\ &=&\cfrac{3}{8}\pi a^2 \end{eqnarray*} $\qquad この定積分の値の求め方は \ \ $$\int_{0}^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}}\sin^m x \cos ^n xdx$ $\ \ をご覧ください$

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