3 フーリェ級数による$\zeta(2)$の計算
$\hspace{5em}$ フーリェ級数とは$\hspace{2em} f(x)=x$ とすると これは奇関数だから $a_0=0,a_n=0$
\begin{eqnarray*} b_n &=&\cfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\sin nxdx \hspace{34em}\\ &=&\cfrac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x\sin nxdx \hspace{8em}\\ &=&\cfrac{2}{\pi}\Big(\left[-x\cfrac{\cos nx}{n}\right]_0^{\pi}+\int_{0}^{\pi}\cfrac{\cos nx}{n}dx\Big)\\ &=&\cfrac{2}{\pi}\Big(-\cfrac{\pi}{n}\cos n\pi+\left[\cfrac{\sin nx}{n^2}\right]_0^{\pi}\Big) \\ &=&-\cfrac{2}{n}\cos n\pi\\ &=&\cfrac{2}{n}(-1)^{n+1}\\ \end{eqnarray*}
一方
\[\quad \cfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2dx =\cfrac{2}{3}\pi^2 だから、パーセバルの公式より \hspace{22em}\] \[\cfrac{2}{3}\pi^2 =\sum_{n=1}^\infty \{\cfrac{2}{n}(-1)^{n+1}\}^2 \hspace{33em} \] \[\cfrac{2}{3}\pi^2 =4\sum_{n=1}^\infty \cfrac{1}{n^2} \hspace{36em}\] \[\therefore \sum_{n=1}^\infty \cfrac{1}{n^2}=\cfrac{\pi^2}{6} \hspace{36em} \]
なお、$f(x)=x^2$ とすると 同様にして
\[\sum_{n=1}^\infty \cfrac{1}{n^4}=\cfrac{\pi^4}{90} \hspace{34em} \] と求まります。
フーリェ級数の収束は難しいところがありますが、$\zeta(2) や \zeta(4)$ を求める計算は
このようにいたってシンプルです。
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