横浜国立大学(理系) 2026年　問題5


$実数全体で定義された関数 \ f(x)=5\log(x^2+1)+3x \ \ に対して、xy\ 平面上の曲線 \ y=f(x)\ を \ C\ とする。$
$C\ の変曲点のうち、x\ 座標が負であるものを \ A(\alpha,\ f(\alpha))\ とし、A\ における \ C\ の接線を \ \ell\ とする。$
$次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ 関数 \ f(x)\ の増減、極値、C\ の凹凸、変曲点を調べ、C\ の概形を描け。ただし、自然対数の底 \ e\ に対して、$
$\quad e ＜ 3\ \ であることは証明せずに用いてよい。$
$(2)\ \ \ell \ \ の方程式を求めよ。$
$(3)\ \ C, \ \ell \ \ および \ y\ 軸で囲まれた部分の面積を求めよ。$


(1)


$f(x)=5\log(x^2+1)+3x \ \ より$

$f'(x)=\dfrac{10x}{x^2+1}+3=\dfrac{3x^2+10x+3}{x^2+1}=\dfrac{(x+3)(3x+1)}{x^2+1}$

$f''(x)=\dfrac{(6x+10)(x^2+1)-(3x^2+10x+3) \times 2x}{(x^2+1)^2}=\dfrac{-10x^2+10}{(x^2+1)^2}=-\dfrac{10(x+1)(x-1)}{(x^2+1)^2}$

$増減表は$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} x & \cdots & -3 & \cdots & -1 & \cdots &-\dfrac{1}{3} & \cdots & 1 & \cdots \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & - & - & 0 &+ & + & + \\ \hline f''(x) & - & - & - & 0 & + & + & + & 0 & -\\ \hline f(x) & \nearrow & 極大 & \searrow & 変曲点 & \searrow & 極小 & \nearrow & 変曲点 & \nearrow \\ & 上に凸 & & 上に凸 & & 下に凸 & & 下に凸 & & 上に凸 \\ \end{array} \]
$x=-3 \ \ で極大値 \ \ f(-3)=5\log 10 -9$

$x=-\dfrac{1}{3} \ \ で極小値 \ \ f(-\dfrac{1}{3})=5\log \dfrac{10}{9} -1 $

$f(-1)=5\log 2 -3$

$なお、5\log 2=\log 2^5=\log 32 , \quad 3=\log e^3 < \log 3^3 \ \ だから \quad 5\log 2 > 3 \ \ よって \quad f(-1)>0$

$f(1)=5\log 2 +3$

$f(0)=0$

　

$また\ \ x < 0 \ \ のとき$
\begin{eqnarray*} & &5\log(x^2+1)+3x\\ \\ &=&5\log x^2(1+\dfrac{1}{x^2})+3x\\ \\ &=&5\log x^2+5\log(1+\dfrac{1}{x^2})+3x\\ \\ &=&10\log (-x)+5\log(1+\dfrac{1}{x^2})+3x\\ \\ &=&x\big(\dfrac{-10\log (-x)}{-x}+3\big)+5\log(1+\dfrac{1}{x^2})\\ \end{eqnarray*} $x \longrightarrow -\infty \ \ のとき \quad \dfrac{\log (-x)}{-x} \longrightarrow 0 \ \ だから \quad 5\log(x^2+1)+3x \longrightarrow -\infty$

$グラフは右のとおり$


(2)


$C\ の変曲点のうち、x\ 座標が負であるものは$

$A(-1,\ 5\log 2-3) \qquad f'(-1)=\dfrac{-10}{2}+3=-2$

$A\ における \ C\ の接線 \ \ell\ は \quad y=-2(x+1)+5\log 2-3$

$\therefore \ \ y=-2x+5\log 2-5$


(3)

　

$C と\ell の共有点を調べるために$

$g(x)=\{5\log(x^2+1)+3x\}-(-2x+5\log 2-5)\ \ とおくと$

$g(x)=5\{\log(x^2+1)+x+1-\log 2\}$

$g'(x)=5\big(\dfrac{2x}{x^2+1}+1\big)=\dfrac{5(x+1)^2}{x^2+1} >0$

$よって \ \ g(x)\ は単調増加 \quad g(-1)=0 \ \ だから$

$x<-1 \ \ のとき \ \ g(x) < 0 \quad 5\log(x^2+1)+3x < -2x+5\log 2-5$

$x>-1 \ \ のとき \ \ g(x) > 0 \quad 5\log(x^2+1)+3x > -2x+5\log 2-5$

$よって \ \ C\ と \ \ell \ \ の共有点は接点 \ A(-1,\ 5\log 2-3) \ \ のみである。$

　

\begin{eqnarray*} S &=&\int_{-1}^0 \big\{\big(5\log(x^2+1)+3x\big)-(-2x+5\log 2-5)\big\}dx\\ \\ &=&5\int_{-1}^0 \big\{\log(x^2+1)+x+(1-\log 2)\big\}dx\\ \\ &=&5\int_{-1}^0 \log(x^2+1)dx + 5\big[\dfrac{x^2}{2}+(1-\log 2)x \big]_{-1}^0\\ \\ &=&5\int_{-1}^0 \log(x^2+1)dx - 5\big(\dfrac{1}{2}-(1-\log 2)\big)\\ \\ &=&5\int_{-1}^0 \log(x^2+1)dx + 5\big(\dfrac{1}{2}-\log 2\big)\\ \end{eqnarray*}
$定積分の第 \ 1\ 項は$
\begin{eqnarray*} I_1 &=&\int_{-1}^0 \log(x^2+1)dx\\ \\ &=&\big[x\log(x^2+1)\big]_{-1}^0 -\int_{-1}^0 x \times \dfrac{2x}{x^2+1}dx\\ \\ &=&\log 2 -\int_{-1}^0 \big(2-\dfrac{2}{x^2+1}\big)dx\\ \\ &=&\log 2 -\int_{-1}^0 2dx + 2\int_{-1}^0 \dfrac{dx}{x^2+1}\\ \\ &=&\log 2 -\big[2x\big]_{-1}^0 + 2\int_{-1}^0 \dfrac{dx}{x^2+1}\\ \\ &=&\log 2 -2 + 2\int_{-1}^0 \dfrac{dx}{1+x^2}\\ \end{eqnarray*}
$定積分の第 \ 3\ 項は$
\[I_2=\int_{-1}^0 \dfrac{dx}{1+x^2}\ \ において \quad x=\tan \theta \ \ とおくと\] \[ \dfrac{1}{1+x^2}=\dfrac{1}{1+\tan^2 \theta}=\cos ^2\theta \qquad dx=\dfrac{d\theta}{\cos^2 \theta} \qquad \quad \begin{array}{c|c} x & -1\ \ \rightarrow 0 \\ \hline \theta & \ -\dfrac{\pi}{4} \rightarrow 0 \\ \end{array} \]
\[I_2=\int_{-\scriptsize{\dfrac{\pi}{4}}}^0 \cos ^2\theta \times \dfrac{d\theta}{\cos^2\theta}=\int_{-\scriptsize{\dfrac{\pi}{4}}}^0 d\theta=\big[\theta\big]_{-\scriptsize{\dfrac{\pi}{4}}}^0=\dfrac{\pi}{4}\] $よって$
\begin{eqnarray*} S &=&5I_1+5(\dfrac{1}{2}-\log 2)\\ \\ &=&5(\log 2-2+2I_2)+5(\dfrac{1}{2}-\log 2)\\ \\ &=&5(\log 2-2+2 \times \dfrac{\pi}{4})+5(\dfrac{1}{2}-\log 2)\\ \\ &=&\dfrac{5}{2}(\pi-3) \end{eqnarray*}

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