横浜国立大学(理系) 2026年　問題4


$複素数\ z\ が \ 0\ でないとき、その極形式を \ \ z=r(\cos \theta +i\sin \theta)\ \ (ただし、r > 0,\ \ 0 \leqq \theta < 2\pi)\quad (*)\ \ で表し、$
$f(z)\ を\ \ f(z)=\sqrt{r}\big(\cos \dfrac{\theta}{2} +i\sin \dfrac{\theta}{2}\big) \ \ と定める。次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ (*) で表される複素数 \ z\ に対して、\dfrac{f(z)}{z} \ \ の虚部を \ r\ と \ \theta \ を用いて表せ。$
$(2)\ \ f(7+6\sqrt{2}i)\ \ と \ \ f(7-6\sqrt{2}i)\ \ をそれぞれ求めよ。$
$複素数 \ w\ が、次の(a)かつ(b)をみたしながら動く。$
$\quad (a)\ \ 0 < |w| \leqq 1$
$\quad (b)\ \ w\ の偏角 \ \alpha \ は \ \ \dfrac{3\pi}{4} \leqq \alpha \leqq \dfrac{5\pi}{4}\ \ の範囲にある。$
$(3)\ \ w^2\ の動く範囲を求め、複素数平面上に図示せよ。$
$(4)\ \ f(w^2)\ の動く範囲を求め、複素数平面上に図示せよ。$


(1)


$\dfrac{f(z)}{z}=\dfrac{\sqrt{r}\big(\cos \dfrac{\theta}{2} +i\sin \dfrac{\theta}{2}\big)}{r(\cos \theta +i\sin \theta)}=\dfrac{1}{\sqrt{r}}\big(\cos (-\dfrac{\theta}{2}) +i\sin (-\dfrac{\theta}{2})\big)$

$\dfrac{f(z)}{z} \ \ の虚部は \quad \dfrac{1}{\sqrt{r}}\sin (-\dfrac{\theta}{2})=-\dfrac{1}{\sqrt{r}}\sin \dfrac{\theta}{2}$


(2)


$7+6\sqrt{2}i\ \ を極形式で表し、偏角を \ \theta \ とすると$

$|7+6\sqrt{2}i|=\sqrt{7^2+(6\sqrt{2})^2}=\sqrt{121}=11$

$11\cos \theta=7,\quad 11\sin \theta=6\sqrt{2} \ \ より \quad \cos \theta=\dfrac{7}{11},\quad \sin \theta=\dfrac{6\sqrt{2}}{11}$

$\cos ^2\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1}{2}(1+\cos \theta)=\dfrac{1}{2}(1+\dfrac{7}{11})=\dfrac{9}{11} \quad \cos \dfrac{\theta}{2} > 0\ \ だから \quad \cos \dfrac{\theta}{2}=\dfrac{3}{\sqrt{11}}$

$\sin ^2\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1}{2}(1-\cos \theta)=\dfrac{1}{2}(1-\dfrac{7}{11})=\dfrac{2}{11} \quad \sin \dfrac{\theta}{2} > 0\ \ だから \quad \sin \dfrac{\theta}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{11}}$

$f(7+6\sqrt{2}i)=\sqrt{11}\big(\dfrac{3}{\sqrt{11}} +\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{11}}i\big)=3+\sqrt{2}i$


$7-6\sqrt{2}i \ \ を極形式で表し、偏角を \ \theta ' \ とすると$

$\dfrac{\theta'}{2}=\dfrac{2\pi-\theta}{2}=\pi -\dfrac{\theta}{2} \ \ だから$

$\cos \dfrac{\theta'}{2}=\cos (\pi-\dfrac{\theta}{2})=-\cos \dfrac{\theta}{2}=-\dfrac{3}{\sqrt{11}}$

$\sin \dfrac{\theta'}{2}=\sin (\pi-\dfrac{\theta}{2})=\sin \dfrac{\theta}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{11}}$

$f(7-6\sqrt{2}i)=\sqrt{11}\big(-\dfrac{3}{\sqrt{11}} +\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{11}}i\big)=-3+\sqrt{2}i$


(3)

　

$|w|\leqq 1 \ \ だから \quad 0 < r^2 \leqq 1$

$\dfrac{3\pi}{4} \leqq \alpha \leqq \dfrac{5\pi}{4}\ \ だから \quad \dfrac{3\pi}{2} \leqq 2\alpha \leqq \dfrac{5\pi}{2}$

$w^2 \ の偏角を \ \beta \ とおくと \quad 0 \leqq \beta \leqq \dfrac{\pi}{2},\quad \dfrac{3\pi}{2} \leqq \beta < 2\pi $

$w^2\ の動く範囲は右図のとおり$


(4)

　

$w^2=r^2\big(\cos \beta + i\sin \beta ) \ \ だから$

$f(w^2)=r\big(\cos \dfrac{\beta}{2} + i\sin \dfrac{\beta}{2}\big) $

$(3) より \quad 0 \leqq \beta \leqq \dfrac{\pi}{2},\quad \dfrac{3\pi}{2} \leqq \beta < 2\pi \ \ だから$

$ 0 \leqq \dfrac{\beta}{2} \leqq \dfrac{\pi}{4},\quad \dfrac{3\pi}{4} \leqq \dfrac{\beta}{2} < \pi $

$f(w^2)\ の動く範囲は右図のとおり$


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