横浜国立大学(理系) 2024年 問題3
$四面体 \ OABC\ において、点 \ P,\ Q,\ R\ は、それぞれ辺 \ OA,\ OB,\ OC\ を \ 1:1,\ \ 2:1,\ \ 3:1\ の比に内分する。$
$点 \ C\ と \ \triangle PQR\ の重心 \ G\ を通る直線が平面 \ OAB\ と交わる点を \ H\ とする。ベクトル\ \vec{OA},\ \ \vec{OB},\ \ \vec{OC}\ \ を$
$それぞれ \ \vec{a},\ \ \vec{b},\ \ \vec{c}\ \ とおく。次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ \vec{OH}\ を \ \vec{a},\ \ \vec{b}\ で表せ。$
$さらに、\vec{a}\cdot \vec{b}=3,\ \ \vec{a}\cdot \vec{c}=1,\ \ \vec{b}\cdot \vec{c}=9, \ \ |\vec{c}|=\sqrt{3}\ \ であり、直線 \ CH\ が平面 \ OAB\ に直交しているとする。$
$(2)\ \ |\vec{a}|,\ \ |\vec{b}|\ \ を求めよ。$
$(3)\ \ \triangle OAB \ \ の面積を求めよ。$
$(4)\ \ 四面体 \ OABC\ の体積を求めよ。$
(1)
$\vec{OP}=\cfrac{1}{2}\vec{a},\quad \vec{OQ}=\cfrac{2}{3}\vec{b},\quad \vec{OR}=\cfrac{3}{4}\vec{c}$
\begin{eqnarray*}
\vec{OG}
&=&\cfrac{1}{3}\big(\vec{OP}+\vec{OQ}+\vec{OR}\big)\\
\\
&=&\cfrac{1}{3}\big(\cfrac{1}{2}\vec{a} + \cfrac{2}{3}\vec{b} + \cfrac{3}{4}\vec{c}\big)\\
\\
&=&\cfrac{1}{6}\vec{a} + \cfrac{2}{9}\vec{b} + \cfrac{1}{4}\vec{c}\\
\end{eqnarray*}
$3\ 点 \ C,\ G,\ H\ は一直線上にあるから \ \ \vec{CH}=k\vec{CG}\ \ (k\ は実数)\ \ とおける。$
$\vec{OH}-\vec{OC}=k(\vec{OG}-\vec{OC})$
\begin{eqnarray*}
\vec{OH}
&=&(1-k)\vec{OC}+k\vec{OG}\\
\\
&=&(1-k)\vec{c} +k\big(\cfrac{1}{6}\vec{a} + \cfrac{2}{9}\vec{b} + \cfrac{1}{4}\vec{c}\big)\\
\\
&=&\cfrac{k}{6}\vec{a} + \cfrac{2k}{9}\vec{b} + (1-\cfrac{3k}{4})\vec{c}\\
\end{eqnarray*}
$点 \ H\ は平面 \ OAB\ 上にあるから \ \ \vec{OH}=\ell \vec{a}+m\vec{b}\ \ (\ell ,\ m \ は実数)\ \ とおけるから$
$1-\cfrac{3k}{4}=0 \qquad k=\cfrac{4}{3}$
$\therefore \ \ \vec{OH}=\cfrac{2}{9}\vec{a} + \cfrac{8}{27}\vec{b} $
(2)
$直線 \ CH \perp 平面 \ OAB \quad だから$
(i)$\ \ CH \perp OA$
$\quad \vec{CH} \cdot \vec{OA}=0$
$\quad (\vec{OH}-\vec{OC}) \cdot \vec{OA}=0$
$\quad \big(\cfrac{2}{9}\vec{a} + \cfrac{8}{27}\vec{b}-\vec{c}\big) \cdot \vec{a}=0$
$\quad \cfrac{2}{9}|\vec{a}|^2 + \cfrac{8}{27}\vec{b}\cdot \vec{a} -\vec{c} \cdot \vec{a}=0$
$\quad \cfrac{2}{9}|\vec{a}|^2 + \cfrac{8}{27} \times 3 - 1 =0$
$\quad |\vec{a}|^2=\cfrac{1}{2}$
$\quad \therefore \ \ |\vec{a}|=\cfrac{1}{\sqrt{2}}$
(ii)$\ \ CH \perp OB$
$\quad \vec{CH} \cdot \vec{OB}=0$
$\quad (\vec{OH}-\vec{OC}) \cdot \vec{OB}=0$
$\quad \big(\cfrac{2}{9}\vec{a} + \cfrac{8}{27}\vec{b}-\vec{c}\big) \cdot \vec{b}=0$
$\quad \cfrac{2}{9}\vec{a} \cdot \vec{b} + \cfrac{8}{27}|\vec{b}|^2 -\vec{c} \cdot \vec{b}=0$
$\quad \cfrac{2}{9} \times 3 + \cfrac{8}{27}|\vec{b}|^2 -9 =0$
$\quad |\vec{b}|^2=\cfrac{25 \times 9}{8}$
$\quad \therefore \ \ |\vec{b}|=\cfrac{15}{2\sqrt{2}}$
(3)
$\angle AOB=\theta \quad とおくと$
\begin{eqnarray*} \triangle OAB &=&\cfrac{1}{2} |\vec{a}| |\vec{b}|\sin \theta\\ \\ &=&\cfrac{1}{2} |\vec{a}| |\vec{b}| \sqrt{1-\cos ^2 \theta}\\ \\ &=&\cfrac{1}{2} |\vec{a}| |\vec{b}| \sqrt{1-\big(\dfrac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\big)^2 }\\ \\ &=&\cfrac{1}{2} \sqrt{|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 -(\vec{a}\cdot \vec{b})^2} \\ \\ &=&\cfrac{1}{2} \sqrt{\dfrac{1}{2} \times \dfrac{225}{8} -9} \\ \\ &=&\cfrac{1}{2} \sqrt{\dfrac{81}{16}} \\ \\ &=&\cfrac{9}{8} \end{eqnarray*}
(4)
$(1)より \quad \vec{OH}=\cfrac{2}{9}\vec{a} + \cfrac{8}{27}\vec{b} \quad だから$
$\vec{CH}=\vec{OH}-\vec{OC}=\cfrac{2}{9}\vec{a} + \cfrac{8}{27}\vec{b}-\vec{c}$
\begin{eqnarray*} |\vec{CH}|^2 &=&\big|\cfrac{2}{9}\vec{a} + \cfrac{8}{27}\vec{b}-\vec{c}\big|^2\\ \\ &=&\dfrac{4}{81}|\vec{a}|^2 + \big(\dfrac{8}{27}\big)^2|\vec{b}|^2+ |\vec{c}|^2+ 2 \times \cfrac{2}{9} \times \cfrac{8}{27} \vec{a}\cdot \vec{b}-2 \times \cfrac{8}{27} \vec{b}\cdot \vec{c}-2 \times \cfrac{2}{9} \vec{c}\cdot \vec{a}\\ \\ &=&\dfrac{4}{81} \times \cfrac{1}{2} + \big(\dfrac{8}{27}\big)^2 \times \cfrac{25 \times 9}{8} + 3 + 2 \times \cfrac{2}{9} \times \cfrac{8}{27} \times 3 -2 \times \cfrac{8}{27} \times 9 -2 \times \cfrac{2}{9} \times 1\\ \\ &=&\cfrac{1}{9} \end{eqnarray*} $\therefore\ \ |\vec{CH}|=\cfrac{1}{3}$
$CH \perp 平面 \ OAB\ \ だから \ \ 四面体 \ OABC\ の体積 \ V\ は$
$V=\cfrac{1}{3} \times \triangle OAB \times CH=\cfrac{1}{3} \times \cfrac{9}{8} \times \cfrac{1}{3}=\cfrac{1}{8}$
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