横浜国立大学(理系) 2023年　問題5


$関数 \ f(x)=e^{-x}\ を考える。次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ 正の実数 \ x\ に対して、以下の不等式を示せ。 \quad 1-x < f(x) < 1-x +\cfrac{x^2}{2}$
\[2\ 以上の整数 \ n,\ N\ (ただし \ \ N \geqq n)\ に対して \quad S_{n,N} =\sum_{k=n}^N \cfrac{1}{k^2-1} f(\cfrac{1}{k})\ \ とおく。\] $(2)\ \ 2\ 以上の整数 \ n,\ N(ただし \ \ N \geqq n)\ に対して、次の不等式を示せ。$
\[\quad \qquad \cfrac{1}{n} - \cfrac{1}{N+1} < S_{n,N} < \big(\cfrac{1}{n}-\cfrac{1}{N+1}\big)\big(1+\cfrac{1}{2n(n-1)}\big)\] \[(3)\ \ 各 \ n\ に対して、極限値 \ \ \lim_{N \rightarrow \infty} S_{n,N}\ \ は存在し、その極限値を \ S_n \ とおく。\] $\quad S_9\ の小数第 \ 3\ 位まで \ (小数第 \ 4\ 位切り捨て)\ を求めよ。$


(1)


(i)$\ \ g(x)=f(x)-(1-x)=e^{-x}-(1-x) \quad とおくと \quad g'(x)=-e^{-x}+1$

$\quad x > 0 \ \ だから \quad 　e^{-x} <1 \quad よって \quad g'(x) >0$

$\quad g(x) \ は単調増加となり \ \ x > 0\ \ ならば \quad g(x) > g(0)=0 \quad ゆえに \quad 1-x < f(x)$

(ii)$\ \ h(x)= 1-x +\cfrac{x^2}{2}-f(x)= 1-x +\cfrac{x^2}{2}-e^{-x} \quad とおくと \quad h'(x)=-1+x+e^{-x}=g(x)$

$\quad $(i)$ より　g(x)=h'(x) > 0 \quad ゆえに \ \ h(x)\ は単調増加となり \ \ x > 0\ \ ならば \quad h(x) > h(0)=0$

$\quad よって \quad f(x) < 1-x +\cfrac{x^2}{2}$

(i),(ii)$ より \quad 正の実数 \ x\ に対して、1-x < f(x) < 1-x +\cfrac{x^2}{2}$


(2)


$(1) で得られた \quad 1-x < f(x) < 1-x +\cfrac{x^2}{2}\ \ に \ \ x=\cfrac{1}{k}\ \ とおくと$

$1-\cfrac{1}{k} < f(\cfrac{1}{k}) < 1-\cfrac{1}{k} +\cfrac{1}{2k^2} $

$\cfrac{1}{k^2-1}\big(1-\cfrac{1}{k}\big) < \cfrac{1}{k^2-1}f(\cfrac{1}{k}) < \cfrac{1}{k^2-1}\big(1-\cfrac{1}{k} +\cfrac{1}{2k^2}\big) $

\[\sum_{k=n}^N \cfrac{1}{k^2-1}\big(1-\cfrac{1}{k}\big) < \sum_{k=n}^N \cfrac{1}{k^2-1}f(\cfrac{1}{k}) < \sum_{k=n}^N \cfrac{1}{k^2-1}\big(1-\cfrac{1}{k} +\cfrac{1}{2k^2}\big) \]
\begin{eqnarray*} 左辺 &=&\sum_{k=n}^N \cfrac{1}{k^2-1} \times \cfrac{k-1}{k}\\ \\ &=&\sum_{k=n}^N \cfrac{1}{k(k+1)}\\ \\ &=&\sum_{k=n}^N \big(\cfrac{1}{k}-\cfrac{1}{k+1}\big)\\ \\ &=&\big(\cfrac{1}{n}-\cfrac{1}{n+1}\big)+\big(\cfrac{1}{n+1}-\cfrac{1}{n+2}\big)+ \cdots +\big(\cfrac{1}{N}-\cfrac{1}{N+1}\big)\\ \\ &=&\cfrac{1}{n}-\cfrac{1}{N+1}\\ \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} 右辺 &=&\sum_{k=n}^N \cfrac{1}{k^2-1}\big(1-\cfrac{1}{k} +\cfrac{1}{2k^2}\big)\\ \\ &=&\sum_{k=n}^N \cfrac{1}{k^2-1}\big(\cfrac{k-1}{k} +\cfrac{1}{2k^2}\big)\\ \\ &=&\sum_{k=n}^N \cfrac{1}{k^2-1} \times \cfrac{k-1}{k}\big(1+\cfrac{1}{2k(k-1)}\big)\\ \\ &=&\sum_{k=n}^N \cfrac{1}{k(k+1)}\big(1+\cfrac{1}{2k(k-1)}\big) \\ \\ &<&\sum_{k=n}^N \cfrac{1}{k(k+1)}\big(1+\cfrac{1}{2n(n-1)}\big) \qquad ( n < k \ \ だから) \\ \\ &=&\big(1+\cfrac{1}{2n(n-1)}\big) \sum_{k=n}^N \cfrac{1}{k(k+1)} \qquad (左辺同様)\\ \\ &=&\big(1+\cfrac{1}{2n(n-1)}\big)\big(\cfrac{1}{n}-\cfrac{1}{N+1}\big)\\ \\ &=&\big(\cfrac{1}{n}-\cfrac{1}{N+1}\big)\big(1+\cfrac{1}{2n(n-1)}\big)\\ \end{eqnarray*}
$したがって \quad \cfrac{1}{n}-\cfrac{1}{N+1} < S_{n.N} < \big(\cfrac{1}{n}-\cfrac{1}{N+1}\big)\big(1+\cfrac{1}{2n(n-1)}\big)$


(3)


\[\lim_{N \rightarrow \infty} S_{n,N}=S_n \quad だから\]
$\cfrac{1}{n}-\cfrac{1}{N+1} < S_{n.N} < \big(\cfrac{1}{n}-\cfrac{1}{N+1}\big)\big(1+\cfrac{1}{2n(n-1)}\big) \ \ で \ \ N \longrightarrow \infty \ \ とすると$

$\cfrac{1}{n} < S_n < \cfrac{1}{n}\big(1+\cfrac{1}{2n(n-1)}\big) $

$\cfrac{1}{n} < S_n < \cfrac{1}{n}+\cfrac{1}{2n^2(n-1)}$

$n=9\ \ とおくと \quad \cfrac{1}{9}=0.1111 \cdots ,\qquad \cfrac{1}{2 \times 9^2 \times 8}=\cfrac{1}{1296}=0.00077$

$よって \quad 0.1111 \cdots < S_9 < 0.11188 \cdots $

$小数第 \ 4\ 位を切り捨てて、第 \ 3\ 位まで求めると \quad S_9=0.111$


$(補充)$

\[各 \ n\ に対して、極限値 \ \ \lim_{N \rightarrow \infty} S_{n,N}\ \ が存在することの証明\]
$0 < e^{-\scriptsize{\cfrac{1}{k}}} < 1 \quad だから \quad 0 < \cfrac{1}{k^2-1}e^{-\scriptsize{\cfrac{1}{k}}} < \cfrac{1}{k^2-1}$

\begin{eqnarray*} S_{n,N} &=&\sum_{k=n}^N \cfrac{1}{k^2-1}e^{-\scriptsize{\cfrac{1}{k}}}\\ \\ &<& \sum_{k=n}^N \cfrac{1}{k^2-1}\\ \\ &=& \sum_{k=n}^N \cfrac{1}{2}\big(\cfrac{1}{k-1}-\cfrac{1}{k+1}\big)\\ \\ &=& \cfrac{1}{2}\big\{\big(\cfrac{1}{n-1}-\cfrac{1}{n+1}\big)+ \big(\cfrac{1}{n}-\cfrac{1}{n+2}\big)+ \big(\cfrac{1}{n+1}-\cfrac{1}{n+3}\big)+ \cdots + \\ \\ & & \hspace{5em} \big(\cfrac{1}{N-3}-\cfrac{1}{N-1}\big)+\big(\cfrac{1}{N-2}-\cfrac{1}{N}\big)+ \big(\cfrac{1}{N-1}-\cfrac{1}{N+1}\big)\\ \\ &=& \cfrac{1}{2}\big(\cfrac{1}{n-1}+ \cfrac{1}{n}- \cfrac{1}{N}-\cfrac{1}{N+1}\big)\\ \\ &<& \cfrac{1}{2}\big(\cfrac{1}{n-1}+ \cfrac{1}{n}\big)\\ \end{eqnarray*}
$S_{n,N}\ は上に有界で単調増加数列だから収束して和 \ S_n\ をもつ。(ワイエルストラスの定理)$


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