横浜国立大学(理系) 2023年　問題4


$数列 \ \{a_n\}\ は \ \ a_1=1, \quad a_{n+1}=\sqrt{2+7\sqrt{a_n}}\ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots )\ \ をみたす。次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ \alpha =\sqrt{2+7\sqrt{\alpha}}\ \ をみたす \ \sqrt{2}\ より大きい実数 \ \alpha \ がただ \ 1\ つ存在することを示し、\alpha \ を求めよ。$
$(2)\ \ (1)で求めた \ \ \alpha \ \ に対して、a_n < \alpha \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots )\ \ を示せ。$
$(3)\ \ 数列 \ \ \{a_n\}\ \ の極限を調べ、収束する場合はその極限値を求めよ。$


(1)

　
$2\ 曲線 \ \ y=x^2-2 \ \ と \ \ y=7\sqrt{x}\ \ を考える。これえらの交点は$

$x^2-2=7\sqrt{x} \quad において \quad \sqrt{x}=t \quad とおくと$

$t^4-2=7t \qquad t^4-7t-2=0 \qquad (t-2)(t^3+2t^2+4t+1)=0$

$t \geqq 0 \quad だから \quad t^3+2t^2+4t+1 > 0 \qquad \therefore \ \ t=2$

$2\ 曲線の交点 \ \alpha \ はただ \ 1\ つで \quad \alpha =t^2=4$

$よって \quad \alpha ^2-2=7\sqrt{\alpha } \quad すなわち$

$\alpha =\sqrt{2+7\sqrt{\alpha}}\ \ をみたす \ \ \alpha =4 \ \ がただ \ 1\ つ存在する。$

$y=x^2\ \ と \ x\ 軸の交点は \quad x=\sqrt{2}\quad だから\ 明らかに \ \ \sqrt{2} < \alpha $

$あるいは \quad \alpha\ =\sqrt{2+7\sqrt{\alpha}}　> \sqrt{2} \quad は明らか$

　

(2)


$ a_n < \alpha \ \ であることを数学的帰納法で示す。なお、(1)より \quad \alpha =4$

(i)$\ \ n=1 \ \ のとき$

$\quad a_1=1 \ \ だから \ \ a_1 < \alpha =4 \quad よって \ \ n=1\ のとき成りたつ。$

(ii)$\ \ n=k \ \ のとき成りたつとすると \quad a_k <\alpha $

$\quad このとき$

$\quad a_{k+1}=\sqrt{2+7\sqrt{a_k}} < \sqrt{2+7\sqrt{\alpha}}=\sqrt{2+7\sqrt{4}}=\sqrt{16}=4$

$\quad よって \quad a_{k+1} < \alpha \quad となって \ \ n=k+1 \ \ のときも成りたつ。$

(i),(ii)$\ \ よりすべての自然数 \ n\ について \quad a_n < \alpha \quad である。$


(3)


\begin{eqnarray*} & &|a_{n+1}-4|\\ \\ &=&\cfrac{|a_{n+1}^2-16|}{a_{n+1}+4}\\ \\ &=&\cfrac{|2+7\sqrt{a_n}-16|}{a_{n+1}+4}\\ \\ &=&\cfrac{7|\sqrt{a_n}-2|}{a_{n+1}+4}\\ \\ &=&\cfrac{7|a_n-4|}{(a_{n+1}+4)(\sqrt{a_n}+2)}\\ \end{eqnarray*}
$ここで \quad a_n >0 \quad だから \quad (a_{n+1}+4)(\sqrt{a_n}+2)> 4 \times 2=8$

$よって \quad |a_{n+1}-4| < \cfrac{7}{8}|a_n-4|\quad これを繰り返して$

$|a_n-4| < \cfrac{7}{8}|a_{n-1}-4| < \big(\cfrac{7}{8}\big)^2 |a_{n-2}-4| < \cdots < \big(\cfrac{7}{8}\big)^{n-1} |a_1-4| =3\big(\cfrac{7}{8}\big)^{n-1}$

$n \longrightarrow \infty \quad とすると \quad 3\big(\cfrac{7}{8}\big)^{n-1} \longrightarrow 0 $

$ 0 \leqq |a_n-4| \quad だから \ \ はさみうちの原理により \quad |a_n-4| \longrightarrow 0$

\[ゆえに \ \ 数列 \ \ \{a_n\}\ \ は収束して \qquad \lim _{n \rightarrow \infty} a_n=4\]

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