横浜国立大学(理系) 2023年 問題2
$さいころ \ A\ とさいころ \ B\ がある。はじめに、さいころ \ A\ を \ 2\ 回投げ、1\ 回目に出た目を \ a_1、2\ 回目に$
$出た目を \ a_2\ とする。次に、さいころ \ B\ を \ 2\ 回投げ、1\ 回目に出た目を \ b_1、2\ 回目に出た目を \ b_2\ とする。$
$次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ a_1 \geqq b_1+b_2 \quad となる確率を求めよ。$
$(2)\ \ a_1+a_2 > b_1+b_2 \quad となる確率を求めよ。$
$(3)\ \ a_1+a_2 > b_1+b_2 \quad という条件のもとで、a_2=1\ \ となる条件付き確率を求めよ。$
(1)
$b_1,\ b_2\ の目の出方を \ (b_1,\ b_2)\ と表すことにする。b_1+b_2 \geqq 2 \quad だから \quad a_1 \geqq 2$
(i)$\ \ a_1=2 \quad のとき \quad (1,\ 1)\ \ の \ 1\ 通り$
(ii)$\ \ a_1=3 \quad のとき \quad (1,\ 1),\ \ (1,\ 2),\ \ (2,\ 1)\ \ の \ 3\ 通り$
(iii)$\ \ a_1=4 \quad のとき \quad (1,\ 1),\ \ (1,\ 2),\ \ (2,\ 1),\ \ (1,\ 3),\ \ (2,\ 2),\ \ (3,\ 1)\ \ の \ 6\ 通り$
(iv)$\ \ a_1=5 \quad のとき \quad (1,\ 1),\ \ (1,\ 2),\ \ (2,\ 1),\ \ (1,\ 3),\ \ (2,\ 2),\ \ (3,\ 1),\ \ (1,\ 4),\ \ (2,\ 3),\ \ (3,\ 2),\ \ (4,\ 1)\ \ の \ 10\ 通り$
(v)$\ \ a_1=6 \quad のとき \quad (1,\ 1),\ \ (1,\ 2),\ \ (2,\ 1),\ \ (1,\ 3),\ \ (2,\ 2),\ \ (3,\ 1),\ \ (1,\ 4),\ \ (2,\ 3),\ \ (3,\ 2),\ \ (4,\ 1),$
$\hspace{10em} (1,\ 5),\ \ (2,\ 4),\ \ (3,\ 3),\ \ (4,\ 2),\ \ (5,\ 1)\ \ の \ 15\ 通り$
$これら根元事象の総数は \quad 1+3+6+10+15=35 \quad 通り$
$したがって求める確率は \quad P=\cfrac{35}{6^3}=\cfrac{35}{216}$
$右の表は \ (b_1,\ b_2)\ の和を求めたものであるが、例えば \ a_1=6\ のときは、$
$b_1+b_2=6\ (赤い数字)のラインの左上の数\ (青い数字)が \ \ a_1 \geqq b_1+b_2\ \ を$
$満たす根元事象である。したがってその個数は$
$\qquad n(a_1=6)=1+2+3+4+5=15$
$同様に、a_1=5\ \ のときは$
$\quad n(a_1=5)=1+2+3+4 \ \ であるから \quad n(a_1=6)=n(a_1=5)+5 \quad が成りたつ。$
$したがって$
$\quad n(a_1=2)=1 \quad より順次$
$\quad n(a_1=3)=n(a_1=2)+2=1+2=3$
$\quad n(a_1=4)=n(a_1=3)+3=3+3=6$
$\quad n(a_1=5)=n(a_1=4)+4=6+4=10$
$\quad n(a_1=6)=n(a_1=5)+5=10+5=15$
$と求まる。$
(2)
$b_1+b_2 \geqq 2 \quad より \quad a_1+a_2 > 3$
(i)$\ \ a_1+a_2=3 \quad のとき \quad (a_1,\ a_2)=(1,\ 2),\ \ (2,\ 1)\ \ の \ 2\ 通りがあり、それぞれについて$
$\quad (b_1,\ b_2)=(1,\ 1)\ \ があるから \quad 2 \times 1=2\ \ 通り$
(ii)$\ \ a_1+a_2=4 \quad のとき \quad (a_1,\ a_2)=(1,\ 3),\ \ (2,\ 2),\ \ (3,\ 1)\ \ の \ 3\ 通りがあり、それぞれについて$
$\quad (b_1,\ b_2)=(1,\ 1),\ \ (1,\ 2),\ \ (2,\ 1)\ \ の\ 3\ 通りがあるから \quad 3 \times 3=9\ \ 通り$
$なお、この \ 3\ 通りは(1)の別解で考えたように \quad 1+2=3 \ \ と求まる。以下この方法で求める。$
(iii)$\ \ a_1+a_2=5 \quad のとき \quad (a_1,\ a_2)\ は \ 4\ 通りがあり、それぞれについて$
$\qquad (b_1,\ b_2)\ は \ \ 3+3 =6 \ 通りがあるから \quad 4 \times 6=24\ \ 通り$
(iv)$\ \ a_1+a_2=6 \quad のとき \quad (a_1,\ a_2)\ は \ 5\ 通りがあり、それぞれについて$
$\qquad (b_1,\ b_2)\ は \ \ 6+4 =10 \ 通りがあるから \quad 5 \times 10=50\ \ 通り$
(v)$\ \ a_1+a_2=7 \quad のとき \quad (a_1,\ a_2)\ は \ 6\ 通りがあり、それぞれについて$
$\qquad (b_1,\ b_2)\ は \ \ 10+5 =15 \ 通りがあるから \quad 6 \times 15=90\ \ 通り$
(vi)$\ \ a_1+a_2=8 \quad のとき \quad (a_1,\ a_2)\ は \ 5\ 通りがあり、それぞれについて$
$\qquad (b_1,\ b_2)\ は \ \ 15+6 =21 \ 通りがあるから \quad 5 \times 21=105\ \ 通り$
(vii)$\ \ a_1+a_2=9 \quad のとき \quad (a_1,\ a_2)\ は \ 4\ 通りがあり、それぞれについて$
$\qquad (b_1,\ b_2)\ は \ \ 21+5 =26 \ 通りがあるから \quad 4 \times 26=104\ \ 通り$
(viii)$\ \ a_1+a_2=10 \quad のとき \quad (a_1,\ a_2)\ は \ 3\ 通りがあり、それぞれについて$
$\qquad (b_1,\ b_2)\ は\ \ 26+4 =30 \ 通りがあるから \quad 3 \times 30=90\ \ 通り$
(ix)$\ \ a_1+a_2=11 \quad のとき \quad (a_1,\ a_2)\ は \ 2\ 通りがあり、それぞれについて$
$\qquad (b_1,\ b_2)\ は \ \ 30+3 =33 \ 通りがあるから \quad 2 \times 33=66\ \ 通り$
(x)$\ \ a_1+a_2=12 \quad のとき \quad (a_1,\ a_2)\ は \ 1\ 通りがあり、それぞれについて$
$\qquad (b_1,\ b_2)\ は \ \ 33+2 =35 \ 通りがあるから \quad 1 \times 35=35\ \ 通り$
$これら根元事象の総数は \quad 2+9+24+50+90+105+104+90+66+35=575 \quad 通り$
$したがって求める確率は \quad P=\cfrac{575}{6^4}=\cfrac{575}{1296}$
(3)
$(2)の \ 575\ 通りの根元事象のうち、a_2=1 \ となるのは \ \ a_1+a_2=3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7\ \ の場合であるから$
$それぞれについて \ \ (b_1,\ b_2)\ は順に \ \ 1,\ 3,\ 6,\ 10,\ 15\ 通りある。$
$よってその総数は \quad 1+3+6+10+15=35\ 通り$
$求める条件付き確率は \quad P=\cfrac{35}{575}=\cfrac{7}{115}$
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