横浜国立大学(理系) 2022年 問題4
$1\ 辺の長さが 1\ である正四面体 \ OABC\ を考える。点 \ P,\ Q,\ R\ は、それぞれ辺 \ OA,\ OB,\ BC\ を以下の$
$ように内分する。$
$\quad OP:PA=s:(1-s),\quad OQ:QB=t:(1-t),\quad BR:RC=u:(1-u)$
$さらに、点 \ O,\ \triangle ABC\ の重心 \ G、\ \triangle PQR\ の重心 \ H\ の \ 3\ 点は同一直線上にある。次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ s,\ u\ を \ t\ の式で表せ。また \ s\ のとり得る値の範囲を求めよ。$
$(2)\ \ |\vec{QP}|^2,|\vec{QR}|^2,\ \ 内積 \ \ \vec{QP} \cdot \vec{QR}\ \ を \ t\ の式で表せ。$
$(3)\ \ \triangle PQR \ \ の面積 \ S\ を \ t\ の式で表せ。また \ S\ が最小となる \ t\ の値を求めよ。$
$(解説)$
$(1)\ \ 3点 \ A,\ B,\ C\ の位置ベクトルを \ \vec{a},\ \vec{b},\ \vec{c}\ とおきます。3\ 点が同一直線上にある条件は平面でも空間でも同じです。$
$(2)\ \ \vec{a},\ \vec{b},\ \vec{c} \ はそれぞれ単位ベクトルで、なす角は \ \cfrac{\pi}{3} \quad だから \ \ \vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{c}=\vec{c}\cdot \vec{a}=\cfrac{1}{2}$
$(3)\ \ (2)をつかって、S=\triangle PQR=\cfrac{1}{2}QP \cdot QR \cdot \sin \angle PQR \ \ を計算します。$
(1)
$\vec{OA}=\vec{a},\ \ \vec{OB}=\vec{b},\ \ \vec{OC}=\vec{c}\ \ とおくと$
$\vec{OP}=s\vec{a},\ \ \vec{OQ}=t\vec{b},\ \ \vec{OR}=(1-u)\vec{OB}+u\vec{OC}=(1-u)\vec{b}+u\vec{c}$
$ただし、点 \ P,\ Q,\ R\ は内分点だから \quad 0 \leqq s \leqq 1,\ \ 0 \leqq t \leqq 1,\ \ 0 \leqq u \leqq 1$
$点 \ G,\ H\ はそれぞれ \ \triangle ABC,\ \triangle PQR\ の重心だから$
$\vec{OG}=\cfrac{1}{3}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$
$\vec{OH}=\cfrac{1}{3}(\vec{OP}+\vec{OQ}+\vec{OR})=\cfrac{1}{3}(s\vec{a}+t\vec{b}+(1-u)\vec{b}+u\vec{c})=\cfrac{1}{3}(s\vec{a}+(1+t-u)\vec{b}+u\vec{c})$
$3\ 点 \ O,\ H,\ G\ は一直線上にあるから \quad \vec{OH}=k\vec{OG}\ \ (k\ は実数)とおける。$
$s\vec{a}+(1+t-u)\vec{b}+u\vec{c}=k(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$
$\vec{a},\ \vec{b},\ \vec{c}\ \ は明らかに同一平面上にないから \ (一次独立といいます)$
\[
\hspace{1em}
\left\{ \begin{array}{l}
s=k \hspace{8em}\ ①\\
1+t-u=k \hspace{5em}②\\
u=k \hspace{8em}\ ③\\
\end{array} \right.
\]
$①、③より \quad k=s=u \quad これを②に代入して \quad 1+t-s=s \qquad s=\cfrac{t+1}{2}$
$したがって \quad s=u=\cfrac{t+1}{2}$
$また \quad 0 \leqq t \leqq 1 \quad より \quad \cfrac{1}{2} \leqq s \leqq 1$
(2)
\begin{eqnarray*} \quad |\vec{QP}|^2 &=&|\vec{OP}-\vec{OQ}|^2\\ &=&|s\vec{a}-t\vec{b}|^2\\ &=&s^2|\vec{a}|^2-2st\vec{a}\cdot \vec{b} +t^2|\vec{b}|^2\\ &=&s^2|\vec{a}|^2-2st|\vec{a}||\vec{b}|\cos \cfrac{\pi}{3} +t^2|\vec{b}|^2\\ &=&s^2 -st +t^2\\ &=&\big(\cfrac{t+1}{2}\big)^2-\cfrac{t+1}{2} \times t +t^2\\ &=&\cfrac{1}{4}(3t^2+1) \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \quad |\vec{QR}|^2 &=&|\vec{OR}-\vec{OQ}|^2\\ &=&|(1-u)\vec{b}+u\vec{c}-t\vec{b}|^2\\ &=&|(1-t-u)\vec{b}+u\vec{c}|^2\\ &=&|(1-t-u)^2|\vec{b}|^2+2(1-t-u)u\vec{b} \cdot \vec{c}+u^2|\vec{c}|^2\\ &=&(1-t-u)^2 +(1-t-u)u +u^2\\ &=&(1-t-u)(1-t-u+u) +u^2\\ &=&(1-t)^2-u(1-t) +u^2\\ &=&(1-t)^2- \cfrac{t+1}{2}(1-t) +(\cfrac{t+1}{2})^2\\ &=&\cfrac{1}{4}(7t^2-6t+3) \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \quad \vec{QP} \cdot \vec{QR}\\ &=&(\vec{OP}-\vec{OQ}) \cdot (\vec{OR}-\vec{OQ})\\ &=&(s\vec{a}-t\vec{b}) \cdot ((1-u)\vec{b}+u\vec{c}-t\vec{b})\\ &=&(s\vec{a}-t\vec{b}) \cdot ((1-t-u)\vec{b}+u\vec{c})\\ &=&s(1-t-u) \vec{a} \cdot \vec{b} + su \vec{a} \cdot \vec{c} -t(1-t-u)|\vec{b}|^2 - tu \vec{b} \cdot \vec{c}\\ &=&\cfrac{1}{2}\{s(1-t-u) + su -2t(1-t-u) - tu\}\\ &=&\cfrac{1}{2}(s -st -2t +2t^2+tu)\\ &=&\cfrac{1}{2}(s -st -2t +2t^2+ts) \hspace{5em} (\because \ \ s=u)\\ &=&\cfrac{1}{2}(s -2t +2t^2)\\ &=&\cfrac{1}{2}(\cfrac{t+1}{2} -2t +2t^2)\\ &=&\cfrac{1}{4}(4t^2-3t+1) \end{eqnarray*}
(3)
$S=\triangle PQR=\cfrac{1}{2}QP \cdot QR \cdot \sin \angle PQR \quad だから$
\begin{eqnarray*} \quad S^2 &=&\cfrac{1}{4}|\vec{QP}|^2 |\vec{QR}|^2 \sin ^2\angle PQR\\ &=&\cfrac{1}{4}|\vec{QP}|^2 |\vec{QR}|^2 (1-\cos^2 \angle PQR)\\ &=&\cfrac{1}{4}|\vec{QP}|^2 |\vec{QR}|^2 (1-\cfrac{(\vec{QP}\cdot \vec{QR})^2}{|\vec{QP}|^2|\vec{QR}|^2})\\ &=&\cfrac{1}{4}\big\{|\vec{QP}|^2 |\vec{QR}|^2-(\vec{QP}\cdot \vec{QR})^2\big\}\\ &=&\cfrac{1}{4}\big\{(\cfrac{1}{4}(3t^2+1) \times \cfrac{1}{4}(7t^2-6t+3)-\cfrac{1}{16}(4t^2-3t+1)^2)\big\}\\ &=&\cfrac{1}{64}(5t^4+6t^3-t^2+2)\\ \end{eqnarray*} $\therefore \ \ S=\cfrac{1}{8}\sqrt{5t^4+6t^3-t^2+2}$
$f(t)=5t^4+6t^3-t^2+2 \quad (0 \leqq t \leqq 1)\ \ とおくと$
$f'(t)=20t^3+18t^2-2t=2t(t+1)(10t-1)$
$f'(t)=0 \quad より \quad t=0,\ \ \cfrac{1}{10}$
$増減表は$
\[ \quad \begin{array}{c||c|c|c|c|c} t & 0 & \cdots & \cfrac{1}{10} & \cdots \\ \hline f'(t) & 0 & - & 0 & + & \\ \hline f(t) & & \searrow & 極小 & \nearrow & \\ \end{array} \] $f(t) \ \ は \quad t=\cfrac{1}{10}\quad のとき、極小かつ最小となるから、S\ が最小となるのは \ \ t=\cfrac{1}{10} \ \ のとき$
メインメニュー に戻る