横浜国立大学(理系) 2022年 問題3
$z \ne 1 \ をみたす複素数 \ z\ に対し 、複素数 \ w\ を \ w=\cfrac{2z-3}{z-1}\ \ と定める。r > 1\ をみたす実数 \ r\ に対して、$
$z\ が \ |z| \geqq r \ \ の範囲を動くとき、w\ がとる値の範囲を \ D_r \ と表す。次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ r=\cfrac{3}{2}\ \ のとき、D_r\ を複素数平面に図示せよ。$
$(2)\ \ E_r\ を \ D_r\ と実軸の共通部分とする。整数を表す点のうち、E_r\ に含まれる点の個数を \ N_r \ とおく。$
$\quad N_r=3\ \ となる \ r\ の範囲を求めよ。$
$(解説)$
$(1)\ \ 与えられた \ w\ の式を \ z\ について解き、|z| \geqq r \ \ を整理します。このとき \ z\ のまま計算する方法と\ z=x+yi \ と$
$\quad おく方法があります。(2)のことを考えると、r=\cfrac{3}{2}\ \ とおくのは整理してからでいいでしょう。$
$(2)\ \ まず、E_r \ に含まれる \ 3\ 個の整数を決定します。$
(1)
$w=\cfrac{2z-3}{z-1} \quad より \quad w(z-1)=2z-3 $
$z(w-2)=w-3 \qquad w=2\ \ とすると \quad 左辺=0,\quad 右辺=-1 \quad だから \quad w \ne 2$
$よって \quad z=\cfrac{w-3}{w-2}$
$|z| \geqq r \quad のとき \quad |\cfrac{w-3}{w-2}| \geqq r \qquad |w-3| \geqq r|w-2|$
$解法1$
$w=x+yi\ \ (x,\ y\ は実数)\ とおくと \quad |x-3+yi| \geqq r|x-2+yi|$
$(x-3)^2+y^2 \geqq r^2\{(x-2)^2+y^2\}$
$(r^2-1)x^2 -(4r^2-6)x+(r^2-1)y^2+4r^2-9 \leqq 0$
$x^2 -\cfrac{4r^2-6}{r^2-1}x+y^2+\cfrac{4r^2-9}{r^2-1} \leqq 0$
$\big(x -\cfrac{2r^2-3}{r^2-1}\big)^2 +y^2 \leqq \big(\cfrac{2r^2-3}{r^2-1}\big)^2 -\cfrac{4r^2-9}{r^2-1}$
$\big(x -\cfrac{2r^2-3}{r^2-1}\big)^2 +y^2 \leqq \cfrac{(2r^2-3)^2-(4r^2-9)(r^2-1)}{(r^2-1)^2}$
$\therefore \ \ \big(x -\cfrac{2r^2-3}{r^2-1}\big)^2 +y^2 \leqq \big(\cfrac{r}{r^2-1}\big)^2$
$r=\cfrac{3}{2} \quad のとき$
$\quad \cfrac{2r^2-3}{r^2-1}=\cfrac{\dfrac{9}{2}-3}{\dfrac{9}{4}-1}=\cfrac{6}{5} \qquad \cfrac{r}{r^2-1}=\cfrac{\dfrac{3}{2}}{\dfrac{9}{4}-1}=\cfrac{6}{5}$
$よって\ \ D_r \ は \quad (x-\cfrac{6}{5})^2+y^2 \leqq \big(\cfrac{6}{5}\big)^2$
$これは右図のとおり、中心(\cfrac{6}{5},\ 0),\ \ 半径 \ \cfrac{6}{5}\ の円の内部を表し、境界を含む。$
$ただし、w \ne 2 \ \ だから \ (2,\ 0)\ を除く$
$解法2$
$|w-3| \geqq r|w-2| \quad の両辺を平方して \quad |w-3|^2 \geqq r^2|w-2|^2$
$(w-3)(\overline{w-3}) \geqq r^2(w-2)(\overline{w-2}) $
$(w-3)(\overline{w}-3) \geqq r^2(w-2)(\overline{w}-2) $
$w\overline{w}-3(w+\overline{w})+9 \geqq r^2\big(w\overline{w} -2(w+\overline{w})+4\big) $
$(r^2-1)w\overline{w}-(2r^2-3)(w+\overline{w})+4r^2-9 \leqq 0$
$w\overline{w} -\cfrac{2r^2-3}{r^2-1} (w+\overline{w})+ \cfrac{4r^2-9}{r^2-1} \leqq 0$
$(w -\cfrac{2r^2-3}{r^2-1})(\overline{w}- \cfrac{2r^2-3}{r^2-1}) \leqq \big(\cfrac{2r^2-3}{r^2-1}\big)^2 -\cfrac{4r^2-9}{r^2-1} $
$|w -\cfrac{2r^2-3}{r^2-1}|^2 \leqq \big(\cfrac{r}{r^2-1}\big)^2 $
$\therefore \ \ |w -\cfrac{2r^2-3}{r^2-1}| \leqq \cfrac{r}{r^2-1}$
$これは、中心 \ (\cfrac{2r^2-3}{r^2-1},\ 0) \quad 半径 \ \cfrac{r}{r^2-1}\ の円を表す。$
(2)
$(1)より \ D_r \ は\ \ 中心(\cfrac{2r^2-3}{r^2-1},\ 0) 、半径 \ \cfrac{r}{r^2-1}\ \ の円だから \quad E_r=[p,\ q]\ とすると$
$\quad p=\cfrac{2r^2-3}{r^2-1} - \cfrac{r}{r^2-1}=\cfrac{2r^2-r-3}{r^2-1}=2-\cfrac{r+1}{r^2-1}=2-\cfrac{1}{r-1}$
$\quad q=\cfrac{2r^2-3}{r^2-1} + \cfrac{r}{r^2-1}=\cfrac{2r^2+r-3}{r^2-1}=2+\cfrac{r-1}{r^2-1}=2+\cfrac{1}{r+1}$
$r > 1 \quad だから \quad 2 < q < 3 \quad よって \ E_r\ に含まれる整数は \ \ x \ne 2 \ \ だから \quad 1,\ 0,\ -1 \ \ の \ 3\ 個である。$
$したがって \quad -2 < p \leqq -1 \quad であればよいから \qquad -2 < 2-\cfrac{1}{r-1} \leqq -1$
$3 \leqq \cfrac{1}{r-1} < 4 \qquad 逆数をとって \quad \cfrac{1}{4} < r-1 \leqq \cfrac{1}{3}$
$\therefore \ \ \cfrac{5}{4} < r \leqq \cfrac{4}{3}$
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