山梨大学(理系) 2022年　問題4


$関数 \ f(x)\ を\ f(x)=\log \big(1+\cfrac{1}{2x}\big)\ \ (x > 0) \ \ とする。また、数列 \ \{I_n\}\ を次の式で定める。$
$\qquad I_n=\cfrac{2n+1}{2n}\cdot \cfrac{2n-1}{2n-2}\cdot \cdots \cdot \cfrac{5}{4}\cdot \cfrac{3}{2}\ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$このとき、次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ \log I_n=f(n)+f(n-1)+ \cdots + f(2)+f(1) \ \ が成り立つことを示せ。$
\[(2)\ \ 関数 \ f(x)\ の正負および増減を調べよ。また、正の整数 \ k\ に対して、不等式 \ \ \int_k^{k+1} f(x)dx < f(k) \] $\quad が成り立つことを示せ。$
\[(3)\ \ n\ を正の整数とする。このとき、不等式 \ \ \int_1^{n+1} f(x)dx < \log I_n \ \ が成り立つことを示せ。\] \[(4)\ \ n\ を正の整数とする。このとき、\int_1^n f(x)dx \ \ を求めよ。\] $(5)\ \ 次の不等式が成り立つことを示せ。 \quad \sqrt{3}I_n > \cfrac{2}{3}\sqrt{2n+3}\big(1+\cfrac{1}{2n+2}\big)^{n+1}$


$(解説)$

$(1)\ \ \log In を計算して、f(n) で表します。$
$(2)\ \ 3\ つのことを問うているが、3\ 番目が次につながるポイントの式です。$
$(3)\ \ (2)の不等式で \quad k=1\ から \ n\ までの和をとり(1)をつかいます。$
$(4)\ \ 対数関数の積分は部分積分法で求めます。$
$(5)\ \ (4)の定積分で \ n \longrightarrow n+1\ とおき、(3)の不等式をつかいます。$
$\quad 示したい不等式の両辺の対数をとっておくと目指す式変形が見えてきます。$


(1)


$I_n=\cfrac{2n+1}{2n}\cdot \cfrac{2n-1}{2n-2}\cdot \cdots \cdot \cfrac{5}{4}\cdot \cfrac{3}{2}= \cfrac{3}{2}\cdot \cfrac{5}{4}\cdot \cdots \cdot \cfrac{2n-1}{2n-2}\cdot \cfrac{2n+1}{2n} \quad より$
\begin{eqnarray*} \log I_n &=&\sum _{k=1}^n \log \cfrac{2k+1}{2k}\\ \\ &=&\sum _{k=1}^n \log \big(1+\cfrac{1}{2k}\big)\\ \\ &=&\sum _{k=1}^n f(k)\\ \\ &=&f(1)+f(2)+ \cdots + f(n)\\ \end{eqnarray*}
$よって \quad \log I_n=f(n)+f(n-1)+ \cdots + f(2)+f(1) $


(2)


(i)$\ \ x >0 \quad だから \quad 1+\cfrac{1}{2x} >1 \quad \therefore \ \ \log \big(1+\cfrac{1}{2x}\big) >0 \quad よって \quad f(x) > 0$

(ii)$\ \ f(x)=\log \big(1+\cfrac{1}{2x}\big)=\log(2x+1)- \log 2x =\log(2x+1)-\log 2 -\log x$

$\qquad f'(x)=\cfrac{2}{2x+1}-\cfrac{1}{x}=-\cfrac{1}{x(2x+1)} < 0 \quad だから \quad f(x)\ は \ x >0\ \ で単調減少$

(iii)$\ \ 0 < k \leqq x \ \ において \ f(x)\ は単調減少だから \quad f(x) \leqq f(k)$

　
$\quad 不等式は右のグラフから明らかであるが、次のように示すこともできる。$
\begin{eqnarray*} \qquad \int_k^{k+1} f(x)dx &<&\int_k^{k+1} f(k)dx\\ \\ &=&f(k) \int_k^{k+1} dx\\ \\ &=&f(k) \end{eqnarray*}

(3)


\[(2)より \quad \int_k^{k+1} f(x)dx < f(k) \quad だから \quad k=1\ から \ n\ までの和をとって\] \[\quad \sum _{k=1}^n \int_k^{k+1} f(x)dx < \sum _{k=1}^n f(k) \] \[\quad 左辺=\int_1^2 f(x)dx + \int_2^3 f(x)dx + \cdots + =\int_{n-1}^n f(x)dx =\int_1^{n+1} f(x)dx\] \[\quad 右辺は(1)より \quad \sum _{k=1}^n f(k)=\log I_n\] \[\quad よって \qquad \int_1^{n+1} f(x)dx < \log I_n \]

(4)


\begin{eqnarray*} \int _1^n f(x)dx &=&\int _1^n \log \cfrac{2x+1}{2x}dx\\ \\ &=&\int _1^n \log \cfrac{x+\dfrac{1}{2}}{x}dx\\ \\ &=&\int _1^n \{\log (x+\cfrac{1}{2}) -\log x \}dx\\ \\ &=&\big[(x+\cfrac{1}{2})\log (x+\cfrac{1}{2}) -(x+\cfrac{1}{2}) -x\log x +x\big]_1^n\\ \\ &=&(n+\cfrac{1}{2})\log (n+\cfrac{1}{2}) -(n+\cfrac{1}{2}) -n\log n + n -\cfrac{3}{2}\log \cfrac{3}{2} + \cfrac{3}{2}-1\\ \\ &=&\cfrac{2n+1}{2}\log \cfrac{2n+1}{2} -n\log n -\cfrac{3}{2}\log \cfrac{3}{2} \\ \end{eqnarray*}

(5)


\[(4)で \quad n \longrightarrow n+1 \quad とおくと \quad \int _1^{n+1} f(x)dx=\cfrac{2n+3}{2}\log \cfrac{2n+3}{2} -(n+1)\log (n+1) -\cfrac{3}{2}\log \cfrac{3}{2}\] \[(3)より \quad \int _1^{n+1} f(x)dx < \log I_n \quad だから\] \begin{eqnarray*} \log I_n &>&\cfrac{2n+3}{2}\log \cfrac{2n+3}{2} -(n+1)\log (n+1) -\cfrac{3}{2}\log \cfrac{3}{2}\\ \\ &=&(n+\cfrac{3}{2})(\log (2n+3) -\log 2) -(n+1)\log (n+1) -\cfrac{3}{2}\log \cfrac{3}{2}\\ \\ &=&(n+1)\log (2n+3) +\cfrac{1}{2}\log (2n+3) -(n+\cfrac{3}{2})\log 2 -(n+1)\log (n+1) -\cfrac{3}{2}\log \cfrac{3}{2}\\ \\ &=&(n+1)\{\log (2n+3) - \log (n+1)\} +\cfrac{1}{2}\log (2n+3) -(n+\cfrac{3}{2})\log 2 -\cfrac{3}{2}\log \cfrac{3}{2}\\ \\ &=&(n+1)\{\log (2n+3) - \log 2(n+1) + \log 2 \} +\cfrac{1}{2}\log (2n+3) -(n+\cfrac{3}{2})\log 2 -\cfrac{3}{2}\log \cfrac{3}{2}\\ \\ &=&(n+1)\log \cfrac{2n+3}{2n+2} + (n+1)\log 2 + \cfrac{1}{2}\log (2n+3) -(n+\cfrac{3}{2})\log 2 -\cfrac{3}{2}\log \cfrac{3}{2}\\ \\ &=&(n+1)\log 2 -(n+\cfrac{3}{2})\log 2 -\cfrac{3}{2}(\log 3 -\log 2) + \cfrac{1}{2}\log (2n+3) + (n+1)\log \cfrac{2n+3}{2n+2}\\ \\ &=&\log 2 -\cfrac{3}{2}\log 3 + \cfrac{1}{2}\log (2n+3) + (n+1)\log \cfrac{2n+3}{2n+2}\\ \end{eqnarray*}
$よって$

$\quad \cfrac{1}{2}\log 3+\log I_n > \log 2 -\log 3 + \cfrac{1}{2}\log (2n+3) + (n+1)\log \cfrac{2n+3}{2n+2}$

$\quad \log \sqrt{3}I_n > \log \cfrac{2}{3} + \log \sqrt{2n+3} + \log \big(1+\cfrac{1}{2n+2}\big)^{n+1}$

$\quad \therefore \ \ \sqrt{3}I_n > \cfrac{2}{3}\sqrt{2n+3}\big(1+\cfrac{1}{2n+2}\big)^{n+1}$


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