早稲田大学(理系) 2024年　問題Ⅴ


$xy\ 平面上において、以下の媒介変数表示をもつ曲線を \ C\ とする。$
\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} x=\sin t +\dfrac{1}{2}\sin 2t\\ y=-\cos t -\dfrac{1}{2}\cos 2t -\dfrac{1}{2}\\ \end{array} \right. \] $ただし、0 \leqq t \leqq \pi \ \ とする。$
$(1)\ \ y\ の最大値、最小値を求めよ。$
$(2)\ \ \dfrac{dy}{dt} < 0 \ \ となる \ t\ の範囲を求め、C\ の概形を \ xy\ 平面上に描け。$
$(3)\ \ C\ を \ y\ 軸のまわりに \ 1\ 回転してできる立体の体積 \ V\ を求めよ。$


(1)

　

\begin{eqnarray*} y &=&-\cos t -\dfrac{1}{2}\cos 2t -\dfrac{1}{2}\\ \\ &=&-\cos t -\dfrac{1}{2}(2\cos ^2t-1) -\dfrac{1}{2}\\ \\ &=&-\cos ^2t - \cos t \end{eqnarray*}
$\cos t=u \quad とおくと \quad 0 \leqq t \leqq \pi \ \ より \ \ -1 \leqq u \leqq 1$

$y=-u^2-u=-(u+\cfrac{1}{2})^2+\cfrac{1}{4}$

$このグラフは右図のとおりで$

$u=-\cfrac{1}{2} \ \ すなわち \ \ \cos t=-\cfrac{1}{2}\ \ より \ \ t=\cfrac{2}{3}\pi \ \ のとき 最大値 \ \ y=\cfrac{1}{4}$

$u=1 \ \ すなわち \ \ \cos t=1 \ \ より \ \ t=0 \ \ のとき 最小値 \ \ y=-2 \ \ をもつ$


(2)


$\cfrac{dy}{dt}=\sin t +\sin2t=\sin t+2\sin t \cos t=\sin t(2\cos t+1)$

$0 \leqq t \leqq \pi \ \ より \ \ 0 \leqq \sin t \leqq 1, \quad -1 \leqq \cos t \leqq 1 $

$\dfrac{dy}{dt} < 0 \ \ となる \ t\ の範囲は$

$\sin t > 0 \ \ かつ \ \ 2\cos t +1 < 0 \qquad \cos t < -\cfrac{1}{2} \qquad \therefore \ \ \cfrac{2}{3}\pi < t <\pi$

$また$

$\cfrac{dx}{dt}=\cos t +\cos 2t=\cos t+(2\cos ^2 t -1)=(2\cos t-1)(\cos t +1)$

$\dfrac{dx}{dt} =0 \ \ となる \ t\ の値は \quad 2\cos t-1=0 \ \ より \ \ t=\cfrac{\pi}{3},\quad \cos t+1=0 \ \ より \ \ t=\pi$

　

$x,y\ の増減表は$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} t & 0 & \cdots & \dfrac{\pi}{3} & \cdots & \dfrac{2}{3}\pi & \cdots & \pi\\ \hline \cfrac{dx}{dt} & & + & 0 & - & - & - & 0\\ \hline \cfrac{dy}{dt} & 0 & + & + & + & 0 & - & 0\\ \hline x & 0 & \nearrow & \dfrac{3\sqrt{3}}{4} & \searrow & \dfrac{\sqrt{3}}{4} & \searrow & 0 \\ \hline y & -2 & \nearrow & -\dfrac{3}{4} & \nearrow & \dfrac{1}{4} & \searrow & 0 \\ \end{array} \]
$t=\cfrac{\pi}{3} のとき$

$x=\sin \cfrac{\pi}{3}+ \cfrac{1}{2}\sin \cfrac{2}{3}\pi=\cfrac{\sqrt{3}}{2}+\cfrac{1}{2} \times \cfrac{\sqrt{3}}{2}=\cfrac{3\sqrt{3}}{4}$

$y=-\cos \cfrac{\pi}{3}- \cfrac{1}{2}\cos \cfrac{2}{3}\pi-\cfrac{1}{2}=-\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{2} \times (-\cfrac{1}{2}) -\cfrac{1}{2}=-\cfrac{3}{4}$

$t=\cfrac{2}{3}\pi のとき$

$x=\sin \cfrac{2}{3}\pi + \cfrac{1}{2}\sin \cfrac{4}{3}\pi=\cfrac{\sqrt{3}}{2}+\cfrac{1}{2} \times (-\cfrac{\sqrt{3}}{2})=\cfrac{\sqrt{3}}{4}$

$y=\cfrac{1}{4}$

$Cのグラフは右のとおりであるが、定義域内の任意の \ t\ について微分可能だからグラフはなめらかな曲線である。$


(3)


$0 \leqq t \leqq \cfrac{2}{3}\pi \ \ では \ x \ を \ x_1, \ \ \cfrac{2}{3}\pi \leqq x \leqq \pi \ \ では \ x \ をx_2 \ \ とおくと$

\begin{eqnarray*} V &=&\pi \int_{-2}^{\scriptsize{\dfrac{1}{4}}} x_1^2dy - \pi \int_0 ^{\scriptsize{\dfrac{1}{4}}} x_2^2dy\\ \\ &=&\pi \int_0^{\scriptsize{\dfrac{2}{3}\pi}} (\sin t +\dfrac{1}{2}\sin 2t)^2(\sin t+\sin 2t)dt- \pi \int_{\pi} ^{\scriptsize{\dfrac{2}{3}\pi}} (\sin t +\dfrac{1}{2}\sin 2t)^2(\sin t+\sin 2t)dt\\ \\ &=&\pi \int_0^{\scriptsize{\dfrac{2}{3}\pi}} (\sin t +\dfrac{1}{2}\sin 2t)^2(\sin t+\sin 2t)dt + \pi \int_ {\scriptsize{\dfrac{2}{3}\pi}}^{\pi} (\sin t +\dfrac{1}{2}\sin 2t)^2(\sin t+\sin 2t)dt\\ \\ &=&\pi \int_0^{\pi} (\sin t +\dfrac{1}{2}\sin 2t)^2(\sin t+\sin 2t)dt\\ \\ &=&\pi \int_0^{\pi} (\sin t +\sin t \cos t)^2(\sin t+ 2\sin t\cos t)dt\\ \\ &=&\pi \int_0^{\pi} \sin ^2t(1 + \cos t)^2 \cdot \sin t (1+ 2\cos t)dt\\ \\ &=&\pi \int_0^{\pi} \sin t(1-\cos ^2 t)(1 + \cos t)^2 (1+ 2\cos t)dt\\ \end{eqnarray*} \[\cos t=u \quad とおくと \quad -\sin tdt=du \qquad \begin{array}{c|c} t & 0\ \ \rightarrow \pi \\ \hline u & \ 1 \rightarrow -1 \\ \end{array} \] \begin{eqnarray*} V &=&-\pi \int_1^{-1}(1-u^2)(1+u)^2(1+2u)du\\ \\ &=&\pi \int_{-1}^1(1+4u+4u^2-2u^3-5u^4-2u^5)du\\ \\ &=&2\pi \int_0^1(1+4u^2-5u^4)du\\ \\ &=&2\pi \big[u+\cfrac{4}{3}u^3-u^5\big]_0^1\\ \\ &=&2\pi(1+\cfrac{4}{3}-1)\\ \\ &=&\cfrac{8}{3}\pi \end{eqnarray*}

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