早稲田大学(理系) 2024年 問題Ⅳ
$2\ つのチーム \ W,\ K\ が \ n\ 回試合を行う。ただし、n \geqq 2 \ \ とする。各試合での \ W ,\ K\ それぞれの勝つ$
$確率は \ \cfrac{1}{2}\ とし、引き分けはないものとする。W\ が連敗しない確率を \ p_n \ とする。ただし、連敗とは$
$2\ 回以上続けて負けることを言う。$
$(1)\ \ p_3\ を求めよ。$
$(2)\ \ p_{n+2}\ を \ p_{n+1}\ と \ p_n \ を用いて表せ。$
$(3)\ \ 以下の \ 2\ 式を満たす \ \alpha, \ \beta \ を求めよ。ただし、\alpha < \beta \ \ とする。$
$\hspace{5em} p_{n+2}-\beta p_{n+1}=\alpha(p_{n+1} - \beta p_n)$
$\hspace{5em} p_{n+2}-\alpha p_{n+1}=\beta(p_{n+1} - \alpha p_n)$
$(4)\ \ p_n \ を求めよ。$
(1)
$n\ 回での勝敗の根元事象の総数は \ 2^n \ 通りあり、それらの根元事象の起こる$
$確率は同じである。$
$2\ 回試合を行って \ W\ が連敗しない確率は、P_2=\cfrac{3}{2^2}=\cfrac{3}{4}$
$3\ 回試合を行って \ W\ が連敗しない確率は、P_3=\cfrac{5}{2^3}=\cfrac{3}{8}$
(2)
$集合を \ A_n\ とし、その要素の個数を \ n(A_n)\ とすると$
$ (1)で \ p_3\ を求めたが、一般に \ \ p_n=\cfrac{n(A_{n})}{2^n}\ \ である。$
$n+2\ 回の試合で、A_{n+2} \ の要素になる(連敗しない)のは$
(i)$\ \ n+1 \ 回に \ A_{n+1}\ の要素であり、n+2\ 回目の試合に$
$\quad 勝って \ A_{n+2}\ の要素になる場合\quad この確率は \quad p_{n+1} \times \cfrac{1}{2}$
(ii)$\ \ n+1 \ 回に \ A_{n+1}\ の要素であり、n+2\ 回目の試合に負けても \ A_{n+2}\ の要素になる場合$
$\quad この場合は、n\ 回に \ A_{n}\ の要素であり、n+1\ 回目の試合に勝って \ \ A_{n+1}\ の要素となる必要がある。$
$\quad したがって、この確率は \quad p_n \times \cfrac{1}{2} \times \cfrac{1}{2}$
(i),(ii)$ \ \ は互いに排反だから$
$p_{n+2}= \cfrac{1}{2}p_{n+1} + \cfrac{1}{4}p_n $
(3)
$p_{n+2}-\beta p_{n+1}=\alpha(p_{n+1} - \beta p_n),\qquad p_{n+2}-\alpha p_{n+1}=\beta(p_{n+1} - \alpha p_n) \quad より$
$p_{n+2}=(\alpha + \beta)p_{n+1} - \alpha \beta p_n $
$(2)より \quad p_{n+2}= \cfrac{1}{2}p_{n+1}+ \cfrac{1}{4}p_n $
$係数を比べて \quad \alpha + \beta = \cfrac{1}{2} , \quad \alpha \beta =-\cfrac{1}{4}$
$よって \quad \alpha , \ \ \beta \ \ は \quad t^2 - \cfrac{1}{2}t - \cfrac{1}{4}=0 \quad の解 である。$
$4t^2 - 2t - 1=0 \quad を解いて \quad t=\cfrac{1 \pm \sqrt{5}}{4}$
$\alpha < \beta \quad だから \quad \alpha =\cfrac{1 - \sqrt{5}}{4},\quad \beta =\cfrac{1 + \sqrt{5}}{4}$
(4)
$p_{n+2}-\beta p_{n+1}=\alpha(p_{n+1} - \beta p_n) \ \ より 数列 \ \ \{p_{n+1} - \beta p_n \} \quad は初項 \ \ p_3 - \beta p_2, \quad 公比 \ \ \alpha \ \ の等比数列だから$
$p_{n+1} - \beta p_n =(p_3 - \beta p_2)\alpha ^{n-2} \hspace{5em}①$
$p_{n+2}-\alpha p_{n+1}=\beta (p_{n+1} - \alpha p_n) \ \ より 数列 \ \ \{p_{n+1} - \alpha p_n \} \quad は初項 \ \ p_3 - \alpha p_2, \quad 公比 \beta \ \ の等比数列だから$
$p_{n+1} - \alpha p_n =(p_3 - \alpha p_2)\beta ^{n-2} \hspace{5em}②$
$②-① \ \ より$
$(\beta - \alpha)p_n=(p_3 - \alpha p_2)\beta ^{n-2}- (p_3 - \beta p_2)\alpha ^{n-2}$
$\beta - \alpha=\cfrac{1+\sqrt{5}}{4} - \cfrac{1-\sqrt{5}}{4} =\cfrac{\sqrt{5}}{2}$
$p_3 - \alpha p_2=\cfrac{5}{8}- \cfrac{1-\sqrt{5}}{4} \times \cfrac{3}{4}=\cfrac{7+3\sqrt{5}}{16}$
$p_3 - \beta p_2=\cfrac{5}{8}- \cfrac{1+\sqrt{5}}{4} \times \cfrac{3}{4}=\cfrac{7-3\sqrt{5}}{16}$
$よって $
\begin{eqnarray*} p_n &=&\cfrac{2}{\sqrt{5}} \Big\{\cfrac{7+3\sqrt{5}}{16}\big(\cfrac{1 + \sqrt{5}}{4}\big)^{n-2} - \cfrac{7-3\sqrt{5}}{16}\big(\cfrac{1 - \sqrt{5}}{4}\big)^{n-2}\Big\}\\ \\ &=&\cfrac{15+7\sqrt{5}}{40}\big(\cfrac{1 + \sqrt{5}}{4}\big)^{n-2} + \cfrac{15-7\sqrt{5}}{40}\big(\cfrac{1 - \sqrt{5}}{4}\big)^{n-2}\\ \end{eqnarray*}
$n=2 \ \ のとき$
$\quad 左辺=p_2=\cfrac{3}{4}$
$\quad 右辺=\cfrac{15+7\sqrt{5}}{40}+\cfrac{15-7\sqrt{5}}{40}=\cfrac{3}{4}$
$よって、 n=2\ \ のとき成りたつ。$
$n=3 \ \ のとき$
$\quad 左辺=p_3=\cfrac{5}{8}$
$\quad 右辺=\cfrac{15+7\sqrt{5}}{40} \times \cfrac{1 + \sqrt{5}}{4} +\cfrac{15-7\sqrt{5}}{40} \times \cfrac{1 - \sqrt{5}}{4} =\cfrac{50+22\sqrt{5}}{40 \times 4}+ \cfrac{50-22\sqrt{5}}{40 \times 4}=\cfrac{5}{8}$
$よって、 n=3\ \ のとき成りたつ。$
$したがって \quad n=2,\ 3,\ \cdots \quad に対して$
$\quad p_n=\cfrac{15+7\sqrt{5}}{40}\big(\cfrac{1 + \sqrt{5}}{4}\big)^{n-2} + \cfrac{15-7\sqrt{5}}{40}\big(\cfrac{1 - \sqrt{5}}{4}\big)^{n-2} $
$(補充)$
$Excel \ で \ n=12\ まで \ P_n \ を計算したのが下の表です。$
$-1 < \cfrac{1 \pm \sqrt{5}}{4} < 1 \quad だから \quad n \longrightarrow \infty \ \ のとき \ \ p_n \longrightarrow 0 \ \ となりますが、$
$11\ 回まで連敗しない確率が \ 1\ 割以上あるのは驚きです。$
$(余談)$
$2\ つのチーム \ W,\ K\ とはもちろん早稲田、慶応のことでしょう。$
$早慶戦の勝敗の確率を \cfrac{1}{2} にしたのは慶応のことを慮ったからでしょうか。$
$こんなところにも出題者は気をつかっているのですね。$
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