早稲田大学(理系) 2024年 問題Ⅱ
$n\ を自然数とし、数 \ 1,\ 2,\ 4\ を重複を許して \ n\ 個並べてできる \ n\ 桁の自然数全体を考える。そのうちで$
$3\ の倍数となるものの個数を \ a_n\ ,\ 3\ で割ると \ 1\ 余るものの個数を \ b_n\ ,3\ で割ると \ 2\ 余るものの個数を \ c_n$
$とする。$
$(1)\ \ a_{n+1}\ を \ b_n,\ c_n \ を用いて表せ。同様に、b_{n+1}\ を \ a_n,\ c_n\ を用いて、c_{n+1}\ を \ a_n,\ b_n \ を用いて表せ。$
$(2)\ \ a_{n+2}\ を \ n\ と \ c_n\ を用いて表せ。$
$(3)\ \ a_{n+6}\ を \ n\ と \ a_n \ を用いて表せ。$
$(4)\ \ a_{6m+1}\ \ (m=0,\ 1,\ 2,\ \cdots )\ \ を \ m\ を用いて表せ。$
(1)
$n\ 桁の自然数が3\ の倍数となるのは、各桁の数字の和が3\ の倍数となるときである。$
$したがって、n\ 個の数字の和と \ (n+1)\ 個の数字の和の推移を調べればよい。$
$(n+1)\ 個目への推移の状況を表したものである。$
$4 \equiv 1\ \ (\mod 3)\ \ であるから、l=0,\ 1,\ 2 \ として、$
$(n+1)\ 個目が \ 1,\ 4\ の場合は \ (3k)+l \ から \ (3k)+l+1\ に推移する。$
$図では赤い線で示している。$
$(n+1)\ 個目が \ 2\ の場合は \ (3k)+l \ から \ (3k)+l+2\ に推移する。$
$図では青い線で示している。$
$ただし、推移は法 \ 3\ で動くことになる。$
$a_{n+1}\ は \ n\ 回目が \ (3k)+1\ で \ 2\ の場合と \ (3k)+2 \ で \ 1,\ 4\ の場合があるから \quad a_{n+1}=b_n+2c_n$
$b_{n+1}\ は \ n\ 回目が \ (3k)+2\ で \ 2\ の場合と \ (3k)\ で \ 1,\ 4 の場合があるから \quad b_{n+1}=2a_n+c_n$
$c_{n+1}\ は \ n\ 回目が \ (3k)\ で \ 2\ の場合と \ (3k)+1\ で \ 1,\ 4 の場合があるから \quad c_{n+1}=a_n+2b_n$
(2)
$(1)より$
\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} a_{n+1}=b_n+2c_n \hspace{5em}①\\ b_{n+1}=2a_n+c_n \hspace{5em}②\\ c_{n+1}=a_n+2b_n \hspace{5em}③\\ \end{array} \right. \]
$①+②+③ \ \ より$
$a_{n+1} + b_{n+1} + c_{n+1}=(b_n+2c_n)+(2a_n+c_n)+(a_n+2b_n)=3(a_n+b_n +c_n)$
$1\ 個目は \ \ 1,\ 2,\ 4 \ \ だから \quad a_1=0,\ \ b_1=2,\ \ c_1=1 $
$\{a_n+b_n +c_n \} \ \ は公比 \ 3\ の等比数列だから$
$a_n+b_n +c_n =(a_1+b_1+c_1)3^{n-1}=3^n \hspace{5em}④\\ $
$したがって$
\begin{eqnarray*} a_{n+2} &=&b_{n+1}+2c_{n+1}\\ \\ &=&(2a_n+c_n)+2(a_n+2b_n)\\ \\ &=&4(a_n+b_n)+c_n \hspace{5em}(④を使って)\\ \\ &=&4(3^n-c_n)+c_n\\ \\ &=&4 \cdot 3^n-3c_n \end{eqnarray*}
(3)
$(2)と同様にして$
\begin{eqnarray*} b_{n+2} &=&2a_{n+1}+c_{n+1}\\ \\ &=&2(b_n+2c_n)+(a_n+2b_n)\\ \\ &=&a_n+4(b_n+c_n)\\ \\ &=&a_n+4(3^n-a_n)\\ \\ &=&4 \cdot 3^n-3a_n \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} c_{n+2} &=&a_{n+1}+2b_{n+1}\\ \\ &=&(b_n+2c_n)+2(2a_n+c_n)\\ \\ &=&b_n+4(a_n+c_n)\\ \\ &=&b_n+4(3^n-b_n)\\ \\ &=&4 \cdot 3^n-3b_n \end{eqnarray*}
$これらをつかって \ \ a_{n+4}\ \ を求める。$
$a_{n+2}=4 \cdot 3^n-3c_n \ \ で \ \ n \longrightarrow n+2 \ \ とおくと$
\begin{eqnarray*} a_{n+4} &=&4 \cdot 3^{n+2}-3c_{n+2}\\ \\ &=&4 \cdot 3^{n+2}-3(4 \cdot 3^n-3b_n)\\ \\ &=&4(3^{n+2}-3^{n+1})+3^2b_n \end{eqnarray*}
$さらに \ \ n \longrightarrow n+2 \ \ とおくと$
\begin{eqnarray*} a_{n+6} &=&4(3^{n+4}-3^{n+3})+3^2b_{n+2}\\ \\ &=&4(3^{n+4}-3^{n+3})+3^2(4 \cdot 3^n-3a_n )\\ \\ &=&4(3^{n+4}-3^{n+3}+3^{n+2})-3^3a_n \end{eqnarray*}
(4)
$(3)より \quad a_{6+n}=4(3^{n+4}-3^{n+3}+3^{n+2})-3^3a_n$
$n=1 \ \ とおくと$
\begin{eqnarray*} \quad a_{6+1} &=&4(3^5-3^4+3^3)-3^3a_1\\ \\ &=&4(3^5-3^4+3^3)\\ \\ &=&4 \times \cfrac{3^3\{1-(-3)^3\}}{1-(-3)}\\ \\ &=&(-3)^3\{(-3)^3-1\} \end{eqnarray*}
$n=6+1 \ \ とおくと$
\begin{eqnarray*} \quad a_{6\cdot 2 +1} &=&4(3^{11}-3^{10}+3^9)-3^3a_{6+1}\\ \\ &=&4 \times \cfrac{3^9\{1-(-3)^3\}}{1-(-3)} - 3^3(-3)^3\{(-3)^3-1\}\\ \\ &=&3^9\{1-(-3)^3\} +(-3)^6\{(-3)^3-1\}\\ \\ &=&(-3)^9\{(-3)^3-1\}+(-3)^6\{(-3)^3-1\}\\ \\ &=&(-3)^{12} -(-3)^6\\ \\ &=&(-3)^6\{(-3)^6-1\} \end{eqnarray*}
$n=6\cdot 2+1 \ \ とおくと$
\begin{eqnarray*} \quad a_{6\cdot 3+1} &=&4(3^{17}-3^{16}+3^{15})-3^3a_{6\cdot 2+1}\\ \\ &=&4 \times \cfrac{3^{15}\{1-(-3)^3\}}{1-(-3)} - 3^3(-3)^6\{(-3)^6-1\}\\ \\ &=&3^{15}\{1-(-3)^3\} +(-3)^9\{(-3)^6-1\}\\ \\ &=&(-3)^{15}\{(-3)^3-1\}+(-3)^9\{(-3)^6-1\}\\ \\ &=&(-3)^{18} -(-3)^9\\ \\ &=&(-3)^9\{(-3)^9-1\} \end{eqnarray*}
$一般に \quad a_{6m+1}=(-3)^{3m}\{(-3)^{3m}-1\} \quad と推察されるが、これを数学的帰納法で証明する。$
(i)$\ \ m=0 \ \ のとき \quad 左辺=a_1=0 ,\qquad 右辺=1-1=0 \quadよって 成りたつ。$
(ii)$\ \ m=1 \ \ のとき \quad 上の計算から 成りたっている。$
(iii)$\ \ m=k \ \ のとき \quad 成りたつとすると$
$\quad a_{6k+1}=(-3)^{3k}\{(-3)^{3k}-1\}$
$このとき$
\begin{eqnarray*} \quad & &a_{6(k+1)+1}\\ \\ &=&a_{6+(6k+1)}\\ \\ &=&4(3^{(6k+1)+4}-3^{(6k+1)+3}+3^{(6k+1)+2})-3^3a_{6k+1}\\ \\ &=&4(3^{6k+5}-3^{6k+4}+3^{6k+3})+(-3)^3\{(-3)^{3k}\{(-3)^{3k}-1\}\}\\ \\ &=&4 \times \cfrac{3^{6k+3}\{1-(-3)^3\}}{1-(-3)}+(-3)^{3k+3}\{(-3)^{3k}-1\}\\ \\ &=&(-3)^{6k+3}\{(-3)^3-1\} + (-3)^{3k+3}\{(-3)^{3k}-1\}\\ \\ &=&(-3)^{6k+6}-(-3)^{6k+3}+(-3)^{6k+3} - (-3)^{3k+3}\\ \\ &=&(-3)^{6k+6}-(-3)^{3k+3}\\ \\ &=&(-3)^{3(k+1)}\{(-3)^{3(k+1)}-1\}\\ \end{eqnarray*}
$よって \ \ m=k+1\ \ のときも成りたつ。$
$以上より \quad m=0,\ 1,\ 2,\ \cdots \ \ について \quad a_{6m+1}=(-3)^{3m}\{(-3)^{3m}-1\} $
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