早稲田大学(理系) 2023年　問題Ⅴ


$xyz\ 空間において、3\ 点 \ A(2,\ 1,\ 2),\ B(0,\ 3,\ 0),\ C(0,\ -3,\ 0)\ を頂点とする三角形 \ ABC\ を考える。$
$以下の問に答えよ。$
$(1)\ \ \angle BAC \ を求めよ。$
$(2)\ \ 0 \leqq h \leqq 2 \ に対し、線分 \ AB,\ AC\ と平面 \ x=h\ との交点をそれぞれ \ P,\ Q\ とする。点 \ P,\ Q\ の$
$\quad 座標を求めよ。$
$(3)\ \ 0 \leqq h \leqq 2 \ に対し、点(h,\ 0,\ 0)\ と線分 \ PQ\ の距離を \ h\ で表せ。ただし、点と線分の距離とは、$
$\quad 点と線分上の距離の最小値である。$
$(4)\ \ 三角形 \ ABC\ を \ x\ 軸のまわりに \ 1\ 回転させ、そのときに三角形が通過する点全体からなる立体の$
$\quad 体積を求めよ。$


(1)

　

$AB^2=(0-2)^2+(3-1)^2+(0-2)^2=12$

$BC^2=(3+3)^2=36$

$CA^2=(2-0)^2+(1+3)^2+(2-0)^2=24$

$AB^2+CA^2=BC^2 \ \ が成りたつから \ \ \triangle ABC \ \ は \angle A=90°\ \ の直角三角形$

$よって \quad \angle BAC =90 °$


(2)

　

(i)$\ \ \vec{OP}=\vec{OB} +t\vec{BA} \ \ (t\ は実数)\ \ とおけるから$

$\quad \vec{OP}=(0,\ 3,\ 0)+ t(2,\ -2,\ 2)=(2t,\ -2t+3,\ 2t)$

$\quad 平面 \ x=h\ との交点は \ \ 2t=h \ \ だから$

$\quad \vec{OP}=(h,\ -h+3,\ h)\quad よって \quad P(h,\ -h+3,\ h)$

(ii)$\ \ \vec{OQ}=\vec{OC} +u\vec{CA}\ \ (u は実数)\ \ とおけるから$

$\quad \vec{OQ}=(0,\ -3,\ 0)+ u(2,\ 4,\ 2)=(2u,\ 4u-3,\ 2u)$

$\quad 平面 \ x=h\ との交点は \ \ 2u=h \ \ だから$

$\quad \vec{OQ}=(h,\ 2h-3,\ h) \quad よって \quad Q(h,\ 2h-3,\ h)$


(3)


$点D(h,\ 0,\ 0)\ と線分 \ PQ\ の距離を \ L\ とすると点P,\ Q\ はそれぞれ平面 \ x=h\ 上にあり、$

$z\ 座標がともに \ h\ だから線分 \ PQ\ は \ y\ 軸に平行である。$

　

(i)$ \ \ 0 \leqq h \leqq \cfrac{3}{2}\ \ のとき$

$\quad 点 \ Q\ の \ y\ 座標は負だから、点 \ D\ から線分 \ PQ\ に下ろした$

$\quad 垂線の交点は線分 \ PQ\ 上にある。$

$\quad したがって \quad L=h$


　

(ii)$\ \ \cfrac{3}{2} \leqq h \leqq 2\ \ のとき$

$\quad 点 \ Q\ の \ y\ 座標は正だから、点 \ D\ から線分 \ PQ\ に下ろした$

$\quad 垂線の交点は線分 \ PQ\ を \ Q\ の方向に延長した直線上にある。$

$\quad したがって 点 \ D\ と線分 \ PQ\ の距離の最小値は$

$\quad L=DQ=\sqrt{(2h-3)^2+h^2}=\sqrt{5h^2-12h+9}$


(4)

　

$右図はxy平面に射影したグラフである。$

$0 \leqq h \leqq \cfrac{3}{2}\ \ では回転体の半径は \ P\ の \ y\ 座標の \ \ (3-h)で、$

$\cfrac{3}{2} \leqq h \leqq 2\ \ では回転体の半径は \ Q \ の \ y座標の \ \ (2h-3)で、$

$この回転体の部分がくり抜かれることになる。$

$求める回転体の体積 \ V\ は$

\begin{eqnarray*} V &=&\pi \int_0^2 (3-h)^2dh -\pi \int_{\scriptsize{\cfrac{3}{2}}}^2(2h-3)^2dh\\ \\ &=&\pi \Big[-\cfrac{(3-h)^3}{3}\Big]_0^2 -\pi \Big[\cfrac{(2h-3)^3}{6}\Big]_{\scriptsize{\cfrac{3}{2}}}^2\\ \\ &=&\pi\big(-\cfrac{1}{3}+9 \big)-\pi \times \cfrac{1}{6}\\ \\ &=&\cfrac{17}{2}\pi \end{eqnarray*}

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