早稲田大学(理系) 2023年　問題Ⅲ


$実数 \ x\ に対して関数 \ f(x)\ を \ f(x)=e^{x-2}\ で定め、正の実数 \ x\ に対して関数 \ g(x)\ を \ g(x)=\log x + 2\ \ で定める。$
$また、y=f(x),\ y=g(x)\ のグラフをそれぞれ \ C_1,\ C_2 \ とする。以下の問に答えよ。$
$(1)\ \ f(x)\ と \ g(x)\ がそれぞれ互いの逆関数であることを示せ。$
$(2)\ \ 直線 \ y=x \ と \ C_1\ が \ 2\ 点で交わることを示せ。ただし、必要なら \ \ 2 < e < 3\ \ を証明しないで用いてよい。$
$(3)\ \ 直線 \ y=x\ と \ C_1\ との \ 2\ つの交点の \ x\ 座標を \ \alpha,\ \beta \ とする。ただし \ \ \alpha < \beta \ \ とする。直線 \ y=x\ と \ C_1,\ C_2\ を$
$\quad すべて同じ平面上に図示せよ。$
$(4)\ \ C_1\ と \ C_2\ で囲まれる図形の面積を(3)の \ \alpha \ と \ \beta \ の多項式で表せ。$


(1)


$y=e^{x-2} \quad より \quad x-2=\log y \qquad x=\log y + 2$

$x\ と \ y\ を交換して \qquad y=\log x +2 \quad これは \ g(x)\ に一致する。$

$f(x)\ の定義域はすべての実数で、値域は正の実数全体であるが、g(x)\ の定義域は正の実数全体で、値域はすべての$

$実数であるから定義域と値域は入れ替わっている。f(x)\ は連続で単調増加関数であるから \ x\ と \ f(x)\ は$

$1\ 対 \ 1\ 対応である。したがって、f(x)\ の逆関数は \ g(x)\ である。$

$y=\log x + 2 \quad より \quad \log x =y-2 \qquad x=e^{y-2}$

$x\ と \ y\ を交換して \qquad y=e^{x-2} \quad これは \ f(x)\ に一致する。$

$g(x)の定義域は正の実数全体で、値域は　全ての実数であるが、f(x)\ の定義域はすべての実数で、値域は正の$

$実数全体であるから定義域と値域は入れ替わっている。g(x)\ は連続で単調増加関数であるから \ x\ と \ g(x)\ は $

$1\ 対 \ 1\ 対応である。したがって、g(x)\ の逆関数は \ f(x)\ である。$


(2)


$y=x \ と \ C_1\ の交点は \ \ e^{x-2}=x \ \ の実数解である。$

$h(x)=e^{x-2}-x \quad とおくと \quad h'(x)=e^{x-2}-1 \qquad h''(x)=e^{x-2}$

$実数 \ x\ に対して \quad h''(x) > 0 \quad だから \quad h'(x) \ \ は単調増加である。$

　

$h'(x)=0 \quad より \quad x=2 $

$h(x)\ の増減表は$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} x& \cdots & 2 & \cdots \\ \hline h'(x) & - & 0 & + & \\ \hline h(x) & \searrow & 極小 & \nearrow & \\ \end{array} \]
$h(x)\ は \ x=2\ で極小かつ最小となり、最小値は \quad h(2)=e^0-2=-1$

　

$また$

$h(0)=e^{-2}>0$

$h(1)=e^{-1}-1 \qquad 2 < e < 3 \quad より \quad \cfrac{1}{3} < e^{-1} < \cfrac{1}{2} \qquad よって \quad h(1) <0$

$h(3)=e-3 <0$

$h(4)=e^2-4 \qquad 2 < e < 3 \quad より \quad 4 < e^2 < 9 \qquad よって \quad h(4) >0$

$h(x)\ は連続関数で区間 \ (0,\ 1)\ で単調減少、区間 \ (3,\ 4)\ で単調増加だから$

$中間値の定理より、区間 \ (0,\ 1)\ と区間 \ (3,\ 4)\ にそれぞれ \ h(x)=0\ となる \ x\ が \ 1\ 個ずつ存在する。$

$よって、 y=x \ \ と \ \ C_1:y=e^{x-2}\ \ は \ 2\ 点で交わる。$


(3)

　

$f(x)=e^{x-2}\ \ と \ g(x)=\log x +2 \ \ はともに単調増加である。$

$(1)より \ f(x)\ と \ g(x)\ はそれぞれ互いの逆関数だから、それぞれの$

$グラフ \ C_1\ と \ C_2\ は \ y=x\ に関して対称である。$

$(2)より \quad y=x\ と \ C_1\ は \ 2\ 点 \ \alpha ,\ \beta \ で交わる。$

$これらのことに注意してグラフをかくと右図のとおりである。$


(4)



$\alpha,\ \beta \ は \ y=x\ と \ C_1:y=e^{x-2}\ の交点だから \quad e^{\alpha -2}=\alpha,\quad e^{\beta -2}=\beta$

$また、C_1\ と \ C_2\ は \ y=x\ に関して対称であるから求める面積 \ S\ は$
\begin{eqnarray*} S &=&2\int _{\alpha}^{\beta} (x-e^{x-2})dx\\ \\ &=&2\big[\dfrac{x^2}{2}-e^{x-2}\big]_{\alpha}^{\beta}\\ \\ &=&(\beta ^2 -\alpha ^2)-2(e^{\beta -2} - e^{\alpha -2})\\ \\ &=&(\beta ^2 -\alpha ^2)-2(\beta - \alpha)\\ \\ &=&(\beta -\alpha )(\beta + \alpha -2)\\ \end{eqnarray*}

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