早稲田大学(理系) 2023年 問題Ⅰ
$n\ を自然数として、整式 \ (3x+2)^n \ を \ x^2+x+1 \ で割った余りを \ a_nx+b_n \ とおく。以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ a_{n+1}\ と \ b_{n+1}\ を、それぞれ \ a_n \ と \ b_n \ を用いて表せ。$
$(2)\ \ 全ての \ n\ に対して、a_n \ と \ b_n \ は \ 7\ で割り切れないことを示せ。。$
$(3)\ \ a_n \ と \ b_n \ を \ a_{n+1}\ と \ b_{n+1}\ で表し、全ての \ n\ に対して、2\ つの整数 \ a_n\ と \ b_n\ は互いに素であることを示せ。$
(1)
$除法の原理より、商を \ Q_n(x)\ とおくと \quad (3x+2)^n =(x^2+x+1)Q_n(x)+a_nx+b_n \quad とおける。$
$このとき$
\begin{eqnarray*} (3x+2)^{n+1} &=&(3x+2)(3x+2)^n\\ \\ &=&(3x+2)\{(x^2+x+1)Q_n(x)+a_nx+b_n \}\\ \\ &=&(x^2+x+1)(3x+2)Q_n(x)+(3x+2)(a_nx+b_n)\\ \\ &=&(x^2+x+1)(3x+2)Q_n(x)+ 3a_nx^2+(2a_n+3b_n)x+2b_n\\ \\ &=&(x^2+x+1)\{(3x+2)Q_n(x)+ 3a_n\}+(-a_n+3b_n)x -3a_n+2b_n\\ \\ \end{eqnarray*} $(3x+2)^{n+1}\ \ を \ \ x^2+x+1 \ \ で割った余りは \quad a_{n+1}x+b_{n+1} \quad だから$
$\quad a_{n+1}=-a_n+3b_n \qquad b_{n+1}= -3a_n+2b_n $
$ただし \quad n=1 \ のとき \quad 3x+2=(x^2+x+1)\times 0 +3x+2 \quad だから \quad a_1=3,\quad b_1=2$
(2)
$(1)の漸化式をつかって順次求めると$
$a_2=-a_1+3b_1=-3+3 \times 2=3, \qquad b_2=-3a_1+2b_1=-3 \times 3 +2 \times 2=-5$
$a_3=-a_2+3b_2=-3+3 \times (-5)=-18, \qquad b_3=-3a_2+2b_2=-3 \times 3 +2 \times (-5)=-19$
$\hspace{7em} \vdots $
$ところが$
$\quad a_3=-18=7 \times (-3)+3 ,\qquad b_2=-5=7 \times (-1)+2,\qquad b_3=-19=7 \times (-3)+2$
$このように \ \ a_n\ を \ 7\ で割った余りは \ \ 3,\quad b_n \ \ を \ 7\ で割った余りは \ \ 2\ \ と推察されるので、$
$これを数学的帰納法で証明する。$
(i)$\ \ n=1 \ \ のとき \quad a_1=3,\quad b_1=2 \quad だから成りたつ。$
(ii)$\ \ n=k \ \ のとき成りたつとすると \quad a_k=7l_k+3,\quad b_k=7m_k+2 \quad とおける。$
$\quad このとき$
$\quad a_{k+1}=-a_k+3b_k=-(7l_k+3)+3(7m_k+2)=7(-l_k+3m_k)+3$
$\quad b_{k+1}=-3a_k+2b_k =-3(7l_k+3)+2(7m_k+2)=7(-3l_k+2m_k)-5=7(-3l_k+2m_k -1)+2$
$\quad よって、n=k+1\ \ のときも成りたつ$
(i),(ii)$\ \ より全ての自然数 \ n\ について \ a_n,\ b_n \ を \ 7\ で割った余りはそれぞれ \ 3,\ \ 2\ であるから \ 7\ で割り切れない。$
(3)
$(1)より$
\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} -a_n+3b_n=a_{n+1} \hspace{6em}\ ①\\ -3a_n+2b_n =b_{n+1} \hspace{5em} ②\\ \end{array} \right. \]
$① \times 2 -② \times 3 \quad より \quad 7a_n=2a_{n+1} - 3b_{n+1} \qquad a_n=\cfrac{2}{7}a_{n+1} - \cfrac{3}{7}b_{n+1}$
$① \times 3 -② \quad より \quad 7b_n=3a_{n+1} - b_{n+1} \qquad b_n=\cfrac{3}{7}a_{n+1} - \cfrac{1}{7}b_{n+1}$
$a_n \ と \ b_n\ が互いに素であることを数学的帰納法で証明する。$
(i)$\ \ n=1 \ のとき \qquad a_1=3,\quad b_1=2 \quad だから \quad a_1 \ と \ b_1\ は互いに素である。$
(ii)$\ \ n=k \ のとき \ \ a_k \ と \ b_k\ が互いに素であるとする。$
$\quad a_{k+1}\ \ と \ \ b_{k+1}\ \ の最大公約数を \ \ e_{k+1}\ \ (e_{k+1} \ne 1) \quad とすると$
$\quad a_{k+1}=e_{k+1}c_{k+1},\qquad b_{k+1}=e_{k+1}d_{k+1} \quad を満たす互いに素な整数 \ \ c_{k+1},\ \ d_{k+1}\ \ が存在する。$
$\qquad ただし、(2)より \ \ a_{k+1}\ と \ b_{k+1}\ は \ 7\ で割り切れないので、 e_{k+1}\ \ は \ 7\ の倍数ではない。$
$\quad a_k=\cfrac{2}{7}a_{k+1} - \cfrac{3}{7}b_{k+1}=e_{k+1}\big(\cfrac{2}{7}c_{k+1} - \cfrac{3}{7}d_{k+1}\big)$
$\quad b_k=\cfrac{3}{7}a_{k+1} - \cfrac{1}{7}b_{k+1}=e_{k+1}\big(\cfrac{3}{7}c_{k+1} - \cfrac{1}{7}d_{k+1}\big)$
$\quad e_{k+1} \ は \ 7\ の倍数ではないので、a_k \ と \ b_k\ の公約数である。$
$\quad ところが、これは \ a_k \ と \ b_k\ が互いに素であることに矛盾する。$
$\quad よって、e_{k+1}=1 \quad したがって \quad a_{k+1}\ \ と \ b_{k+1}\ \ は互いに素である。$
$以上より \quad n=k+1 \quad のときも成りたつ$
(i),(ii)$\ \ より全ての自然数 \ n\ について \quad a_n \ と \ ,b_n \ は互いに素である。$
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