早稲田大学(理系) 2022年　問題3


$\quad r\ を実数とする。次の条件によって定められる数列 \ \{a_n\},\ \{b_n\},\ \{c_n\}\ を考える。$
$\qquad a_1=r,\quad a_{n+1}=\cfrac{[a_n]}{4}+\cfrac{a_n}{4}+\cfrac{5}{6} \ \ (n=1,2,3,\cdots)$
$\qquad b_1=r,\quad b_{n+1}=\cfrac{b_n}{2}+\cfrac{7}{12} \ \ (n=1,2,3,\cdots)$
$\qquad c_1=r,\quad c_{n+1}=\cfrac{c_n}{2}+\cfrac{5}{6} \ \ (n=1,2,3,\cdots)$
$\quad ただし、[x]\ は \ x\ を超えない最大の整数とする。以下の問に答えよ。$
\[(1)\ \ \lim_{n \rightarrow \infty} b_n \ \ と \ \ \ \lim_{n \rightarrow \infty} c_n \ \ を求めよ。\] \[(2)\ \ b_n \leqq a_n \leqq c_n \ \ (n=1,2,3,\cdots)を示せ。\] \[(3)\ \ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n \ \ を求めよ。\]


$(解説)$

$(1)\ \ ごく普通の隣接 \ 2\ 項間の漸化式です。階差数列を用いてもいいし、特性方程式を解いてもいいでしょう。$
$(2)\ \ まず、[a_n] \ から \ a_n \ の満たす不等式を導きます。$
$(3)\ \ b_n \ と \ c_n \ の極限値が異なりますからはさみうちの原理は使えません。(1),(2)から十分大きな \ n\ に対して$
$\quad \ a_n\ の値の範囲が絞れます。$


(1)


(i)$\ \ b_{n+1}=\cfrac{b_n}{2}+\cfrac{7}{12} \quad の特性方程式$

$\qquad p=\cfrac{p}{2}+\cfrac{7}{12} \quad より \quad p=\cfrac{7}{6}$

$\qquad 辺々引いて \quad b_{n+1}-\cfrac{7}{6}=\cfrac{1}{2}\big(b_n-\cfrac{7}{6}\big) $

$\qquad よって \quad b_n=\cfrac{7}{6}+(r-\cfrac{7}{6})\big(\cfrac{1}{2}\big)^{n-1} \qquad n \longrightarrow \infty \quad のとき \quad 　b_n \longrightarrow \cfrac{7}{6}$

(ii)$\ \ c_{n+1}=\cfrac{c_n}{2}+\cfrac{5}{6} \quad の特性方程式$

$\qquad q=\cfrac{q}{2}+\cfrac{5}{6} \quad より \quad q=\cfrac{5}{3}$

$\qquad 辺々引いて \quad c_{n+1}-\cfrac{5}{3}=\cfrac{1}{2}\big(c_n-\cfrac{5}{3}\big) $

$\qquad よって \quad c_n=\cfrac{5}{3}+(r-\cfrac{5}{3})\big(\cfrac{1}{2}\big)^{n-1} \qquad n \longrightarrow \infty \quad のとき \quad 　c_n \longrightarrow \cfrac{5}{3}$


(2)


$\qquad a_n-1 < [a_n] \leqq a_n \quad だから \quad \cfrac{a_n-1}{4} + \cfrac{a_n}{4} +\cfrac{5}{6} < a_{n+1} \leqq \cfrac{a_n}{4} + \cfrac{a_n}{4} +\cfrac{5}{6}$

$\qquad \therefore \ \ \cfrac{a_n}{2} +\cfrac{7}{12} < a_{n+1} \leqq \cfrac{a_n}{2} +\cfrac{5}{6}$

(i)$\ \ b_n \leqq a_n \quad の証明$

$\qquad a_n - b_n \geqq \big(\cfrac{a_{n-1}}{2}+\cfrac{7}{12}\big) -\big(\cfrac{b_{n-1}}{2}+\cfrac{7}{12}\big) =\cfrac{1}{2}(a_{n-1}-b_{n-1}) \geqq \big(\cfrac{1}{2}\big)^{n-1}(a_1-b_1) =0$

(ii)$\ \ a_n \leqq c_n \quad の証明$

$\qquad c_n - a_n \geqq \big(\cfrac{c_{n-1}}{2}+\cfrac{5}{6}\big) -\big(\cfrac{a_{n-1}}{2}+\cfrac{5}{6}\big) =\cfrac{1}{2}(c_{n-1}-a_{n-1}) \geqq \big(\cfrac{1}{2}\big)^{n-1}(c_1-a_1) =0$

(i),(ii)$\ \ より \quad b_n \leqq a_n \leqq c_n \ \ (n=1,2,3,\cdots)$


(3)


$\quad (1) より \quad n \longrightarrow \infty \quad のとき \quad 　b_n \longrightarrow \cfrac{7}{6}\qquad c_n \longrightarrow \cfrac{5}{3}$

$\quad (2)より \quad b_n \leqq a_n \leqq c_n $

$\quad したがって、十分大きな自然数 \ N\ に対して \quad n \geqq N \ \ ならば \quad \cfrac{7}{6} \leqq a_n \leqq \cfrac{5}{3}　\quad よって \quad [a_n]=1$

$\quad よって \quad n \geqq N \quad の \ n\ に対して \quad a_{n+1}=\cfrac{[a_n]}{4}+\cfrac{a_n}{4}+\cfrac{5}{6}=\cfrac{1}{4}+\cfrac{a_n}{4}+\cfrac{5}{6}=\cfrac{a_n}{4}+\cfrac{13}{12}$

$\qquad a_{n+1}=\cfrac{a_n}{4}+\cfrac{13}{12} \quad の特性方程式は$

$\qquad t=\cfrac{t}{4}+\cfrac{13}{12} \quad より \quad t=\cfrac{13}{9}$

$\qquad 辺々引いて \quad a_{n+1}-\cfrac{13}{9}=\cfrac{1}{4}\big(a_n-\cfrac{13}{9}\big) $

$\qquad よって \quad a_n=\cfrac{13}{9}+(a_N-\cfrac{13}{9})\big(\cfrac{1}{4}\big)^{n-N} $

$\qquad n \longrightarrow \infty \quad のとき \quad 　a_n \longrightarrow \cfrac{13}{9}$


　
$(確認)$

$\quad Excel \ で、 a_1=r,\quad a_{n+1}=\cfrac{[a_n]}{4}+\cfrac{a_n}{4}+\cfrac{5}{6} \quad より$

$順次計算した結果が右の表です。$

$初期値 \ r\ が1,\ \sqrt{2},\ -2 \ \ についてそれぞれ計算しましたが、$

$意外に早く \ \ \cfrac{13}{9}=1.44444 \ \ に収束するのがわかります。$


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