早稲田大学(理系) 2022年　問題2


$p,\ q\ を相異なる素数とする。次の \ 3\ 条件をみたす \ x\ の \ 2\ 次式 \ f(x)\ を考える。$
$\quad ・係数はすべて整数で \ x^2\ の係数は \ 1\ である。$
$\quad ・f(1)=pq \ \ である。$
$\quad ・方程式 \ f(x)=0\ は整数解をもつ。$
$以下の問に答えよ。$
$(1)\ \ f(x)\ をすべて求めよ。$
$(2)\ \ (1)で求めたものを \ f_1(x),\ f_2(x),\ \cdots , \ f_m(x)\ とする。2m\ 次方程式 \ f_1(x) \times f_2(x) \times \cdots \times f_m(x)=0\ の$
$\quad 相異なる解の総和は \ p,\ q\ によらないことを示せ。$


$(解説)$

$(1)\ \ 第 \ 1\ の条件から \ a,\ b\ を整数として、f(x)=x^2+ax+b \ \ とおけて、第 \ 3\ の条件から \ f(x)=0\ の \ 2\ つの解は$
$\quad ともに整数解であることがわかります。第 \ 2\ の条件から、f(x)\ を決定できます。$
$(2)\ \ f_1(x)=0,\ f_2(x)=0,\ \cdots ,\ \ f_m(x)=0\ \ の解はすべて異なりますからこれらの解の和を求めます。$


(1)


$a,\ b\ を整数として、f(x)=x^2+ax+b \ \ とおける。$

$f(x)=0\ の整数解を \ \alpha ,\ もう一つの解(必ずしも整数とはかぎらない)を \ \beta \ とする。$

$解と係数の関係より、\alpha +\beta=-a \quad だから \quad \beta =-a-\alpha$

$右辺は整数だから \ \beta \ も整数となる。$

$f(x)=(x-\alpha)(x-\beta) \quad とおけるから条件より \quad f(1)=(1-\alpha)(1-\beta)=pq $

$ここで、p,\ q \ は相異なる素数であるからこれを満たす \ \alpha,\ \beta \ は$

$(1-\alpha,\ 1-\beta)=(p,\ q),\ \ (-p,\ -q),\ \ (pq,\ 1),\ \ (-pq,\ -1) \ \ の \ 4\ 通り$

$よって \quad (\alpha,\ \beta)=(1-p,\ 1-q),\ \ (1+p,\ 1+q),\ \ (1-pq,\ 0),\ \ (1+pq,\ 2)$

$したがって$

$f(x)=(x-1+p)(x-1+q),\ \ (x-1-p)(x-1-q),\ \ (x-1+pq)x,\ \ (x-1-pq)(x-2)\ \ の \ 4\ 通り$


$なお$

$(1-\alpha,\ 1-\beta)=(p,\ q)\ \ に対して \ \ (1-\alpha,\ 1-\beta)=(q,\ p)\ \ を考えても$

$(\alpha,\ \beta)=(1-q,\ 1-p)\ \ となって \ \ \alpha \ と \ \beta \ が入れ替わるだけであるから \ f(x)\ は同じである。$

$他についても同様である。$


(2)


$f_1(x)=(x-1+p)(x-1+q)$

$f_2(x)=(x-1-p)(x-1-q)$

$f_3(x)=(x-1+pq)x$

$f_4(x)=(x-1-pq)(x-2)$

$とおくと$

$f_1(x) \times f_2(x) \times \cdots \times f_4(x)=0 \ \ の相異なる解は$

$\quad 1-p,\ 1-q,\ \ 1+p,\ \ 1+q,\ \ 1-pq,\ \ 0,\ \ 1+pq,\ \ 2 \quad だから $

$その総和 \ S\ は$

$\quad S=(1-p)+(1-q)+(1+p)+(1+q)+(1-pq)+0 +(1+pq)+2=8 $

$よって相異なる解の総和は \ p,\ q\ によらない。$


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