宇都宮大学(理系) 2025年 問題4(B)
$a,\ s\ を実数とする。初項 \ s,\ 公差 \ s\ の等差数列を \ \{x_n\} \ とし、初項 \ as,\ 公差 \ as\ の等差数列を \ \{y_n\}\ とする。$
$次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ 数列 \ \{x_n\}\ の一般項を求めよ。$
$(2)\ \ N\ 個の値 \ \ x_1,\ x_2,\ \cdots ,\ x_N\ \ からなるデータの平均値と分散を求めよ。$
$(3)\ \ 2N\ 個の値 \ \ x_1,\ x_2,\ \cdots ,\ x_N,\ y_1,\ y_2,\ \cdots , \ y_N\ \ からなるデータの平均値と分散を求めよ。$
(1)
$x_n=s+(n-1)s=sn$
(2)
$x_1,\ x_2,\ \cdots ,\ x_N\ \ からなるデータの集合を \ X\ とおくと$
(i)$\ \ X\ の平均値\ \ E(X)$
\begin{eqnarray*} \quad E(X) &=&\dfrac{1}{N}\sum_{n=1}^N x_n\\ \\ &=&\dfrac{1}{N}\sum_{n=1}^N sn\\ \\ &=&\dfrac{s}{N}\sum_{n=1}^N n\\ \\ &=&\dfrac{s}{N} \times \dfrac{N}{2}(N+!)\\ \\ &=&\dfrac{s}{2}(N+!) \end{eqnarray*}
(ii)$\ \ Xの分散\ \ V(X)$
\begin{eqnarray*} \quad V(X) &=&\dfrac{1}{N}\sum_{n=1}^N x_n^2 -E(X)^2\\ \\ &=&\dfrac{1}{N}\sum_{n=1}^N (sn)^2 -\big(\dfrac{s}{2}(N+!)\big)^2\\ \\ &=&\dfrac{s^2}{N} \times \dfrac{N}{6}(N+1)(2N+1)- \dfrac{s^2}{4}(N+!)^2\\ \\ &=&\dfrac{s^2(N+1)}{12}\{2(2N+1)-3(N+1)\}\\ \\ &=&\dfrac{s^2}{12}(N+1)(N-1) \end{eqnarray*}
(3)
$2N\ 個の値 \ \ x_1,\ x_2,\ \cdots ,\ x_N,\ y_1,\ y_2,\ \cdots , \ y_N\ \ をこの順に \ z_1,\ z_2,\ \cdots \ z_{2N}\ \ とし、$
$このデータの集合をを \ Z\ とおく。$
(i)$\ \ Z\ の平均値 \ \ E(Z)$
\begin{eqnarray*} E(Z) \quad &=&\dfrac{1}{2N}\{x_1+x_2+\cdots + x_N + y_1+ y_2+ \cdots + y_N\}\\ \\ &=&\dfrac{1}{2N}\sum_{n=1}^N (x_n + y_n\big)\\ \\ &=&\dfrac{1}{2N}\sum_{n=1}^N (x_n + ax_n)\\ \\ &=&\dfrac{a+1}{2N}\sum_{n=1}^N x_n \\ \\ &=&\dfrac{a+1}{2}E(X)\\ \\ &=&\dfrac{a+1}{2} \times \dfrac{s}{2}(N+1)\\ \\ &=&\dfrac{(a+1)s}{4}(N+1)\\ \end{eqnarray*}
(ii)$\ \ Z\ の分散\ \ V(Z)$
\begin{eqnarray*} \quad V(Z) &=&\dfrac{1}{2N}\big(z_1^2+ z_2^2+ \cdots + z_{2N}^2\big) -E(Z)^2\\ \\ &=&\dfrac{1}{2N}\big(x_1^2+ x_2^2+ \cdots + x_N^2+ y_1^2+ y_2^2+ \cdots + y_N^2\big) -E(Z)^2\\ \\ &=&\dfrac{1}{2N}\sum_{n=1}^N (x_n^2 + y_n^2)-E(Z)^2\\ \\ &=&\dfrac{1}{2N}\sum_{n=1}^N (x_n^2 + a^2x_n^2)-E(Z)^2\\ \\ &=&\dfrac{a^2+1}{2N}\sum_{n=1}^N x_n^2 -E(Z)^2\\ \\ &=&\dfrac{a^2+1}{2N}\sum_{n=1}^N s^2n^2 -E(Z)^2\\ \\ &=&\dfrac{(a^2+1)s^2}{2N} \times \dfrac{N}{6}(N+1)(2N+1) -\big(\dfrac{(a+1)s}{4}(N+1)\big)^2\\ \\ &=&\dfrac{(a^2+1)s^2}{12}(N+1)(2N+1) - \dfrac{(a+1)^2s^2}{16}(N+1)^2\\ \\ &=&\dfrac{s^2(N+1)}{48}\big\{4(a^2+1)(2N+1) - 3(a+1)^2(N+1)\big\}\\ \\ &=&\dfrac{s^2(N+1)}{48}\big((5a^2-6a+5)N+a^2-6a+1\big)\\ \end{eqnarray*}
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