宇都宮大学(理系) 2025年 問題4(A)
$次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ 等式\ \ a+b+c=20\ \ を満たす負でない整数 \ a,\ b,\ c\ の組の総数を求めよ。$
$(2)\ \ 等式\ \ a+b+c=20\ \ を満たす正の整数 \ a,\ b,\ c\ の組の総数を求めよ。$
$(3)\ \ 不等式 \ \ 10 \leqq a+b+c \leqq 20\ \ を満たす正の整数 \ a,\ b,\ c\ の組の総数を求めよ。$
(1)
$例えば \ 1\ つの解、a=10,\ \ b=6,\ \ c=4 \ \ には \ \ \{a,\ b,\ c,\}\ \ から重複を許して、a\ を \ 10\ 個,\ b\ を \ 6\ 個,\ c\ を \ 4\ 個とる$
$重複組合せを対応させると、負でない整数 \ a,\ b,\ c\ の組の総数 は$
$_3\mathrm{H}_{20}=_{22}\mathrm{C}_{20}=_{22}\mathrm{C}_{2}=\dfrac{22 \times 21}{2}=231\ \ 通り$
(2)
$a-1=a',\ \ b-1=b',\ \ c-1=c' \ \ とおくと \ \ a',\ b',\ c'\ \ は負でない整数である。$
$a+b+c=20 \ \ は \quad (a'+1)+(b'+1)+(c'+1)=20 $
$a'+ b'+ c' =17 $
$(1) と同様に考えて$
$_{3}\mathrm{H}_{17}=_{19}\mathrm{C}_{17}=_{19}\mathrm{C}_{2}=\dfrac{19 \times 18}{2}=171 \ \ 通り$
(3)
(i)$\ \ a+b+c < 10 \ \ は正の整数 \ d\ を用いて \quad a+b+c+d=10 \quad と同値であるから$
$\quad (このことについては($重複組合わせの性質$)をご覧ください。)$
$\quad (2)と同様にして$
$\quad (a'+1)+(b'+1)+(c'+1)+(d'+1)=10$
$\quad a'+ b'+ c' +d'=6 $
$\quad _{4}\mathrm{H}_{6}=_{9}\mathrm{C}_{6}=_{9}\mathrm{C}_{3}=\dfrac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2}=84 \ \ 通り$
(ii)$\ \ a+b+c < 21 \ \ は正の整数 \ d\ を用いて$
$\quad a+b+c+d=21 \quad と同値であるから$
$\quad (a'+1)+(b'+1)+(c'+1)+(d'+1)=21$
$\quad a'+ b'+ c' +d'=17 $
$\quad _{4}\mathrm{H}_{17}=_{20}\mathrm{C}_{17}=_{20}\mathrm{C}_{3}=\dfrac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2}=1140 \ \ 通り$
$よって \quad 10 \leqq a+b+c \leqq 20\ \ を満たす正の整数 \ a,\ b,\ c\ の組の総数は$
$1140-84=1056 \ \ 通り$
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