宇都宮大学(理系) 2025年 問題1
$次の条件によって定めらる数列 \ \{a_n\}\ がある。a_1=\dfrac{3}{5},\ \ a_{n+1}=\dfrac{3a_n}{2a_n+1}\ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots )$
$このとき、次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ a_2,\ \ a_3,\ a_4,\ a_5\ \ を求めよ。$
$(2)\ \ 一般項 \ a_n\ を推測して、その結果を数学的帰納法によって証明せよ。$
$(3)\ \ n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots \ \ とするとき、1-\dfrac{2}{3^n} < a_n < 1 \ \ が成り立つことを証明せよ。$
$(4)\ \ m \leqq a_1+a_2+a_3+ \cdots + a_{2025} \ \ を満たす最大の整数 \ m\ を求めよ。$
(1)
$a_2=\dfrac{3a_1}{2a_1+1}=\dfrac{3 \times \dfrac{3}{5}}{2 \times \dfrac{3}{5}+1}=\dfrac{9}{6+5}=\dfrac{9}{11}$
$a_3=\dfrac{3a_2}{2a_2+1}=\dfrac{3 \times \dfrac{9}{11}}{2 \times \dfrac{9}{11}+1}=\dfrac{27}{18+11}=\dfrac{27}{29}$
$a_4=\dfrac{3a_3}{2a_3+1}=\dfrac{3 \times \dfrac{27}{29}}{2 \times \dfrac{27}{29}+1}=\dfrac{81}{54+29}=\dfrac{81}{83}$
$a_5=\dfrac{3a_4}{2a_4+1}=\dfrac{3 \times \dfrac{81}{83}}{2 \times \dfrac{81}{83}+1}=\dfrac{243}{162+83}=\dfrac{243}{245}$
(2)
(i)$\ \ a_1,\ a_2,\ \ a_3,\ a_4,\ a_5\ \ の各項は、分母と分子の差が \ 2\ である。$
(ii)$\ \ a_1,\ a_2,\ \ a_3,\ a_4,\ a_5\ \ の各項の分子は、3,\ 3^2,\ 3^3,\ 3^4,\ 3^5 \ \ である。$
(i),(ii)$\ \ より \quad a_n=\dfrac{3^n}{3^n+2} \quad と推測できる。$
$そこで$
$命題 : a_1=\dfrac{3}{5},\ \ a_{n+1}=\dfrac{3a_n}{2a_n+1}\ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots )\ \ で定められる数列の一般項は \ \ a_n=\dfrac{3^n}{3^n+2}\ \ で与えられる。$
$これが真であることを数学的帰納法で証明する。$
$(Ⅰ)\ \ n=1 のとき 左辺=a_1=\dfrac{3}{5},\qquad 右辺=\dfrac{3}{3+2}=\dfrac{3}{5}$
$よって、n=1 \ \ のとき成り立つ。$
$(Ⅱ)\ \ n=k \ \ (k=2,\ 3,\ 4,\ \cdots )\ \ のとき成り立つとすると \qquad a_k=\dfrac{3^k}{3^k+2}$
$このとき$
\begin{eqnarray*} a_{k+1} &=&\dfrac{3a_k}{2a_k+1}\\ \\ &=&\dfrac{3 \times \dfrac{3^k}{3^k+2}}{2 \times \dfrac{3^k}{3^k+2}+1}\\ \\ &=&\dfrac{3^{k+1}}{2 \times 3^k + (3^k+2)}\\ \\ &=&\dfrac{3^{k+1}}{3 \times 3^k + 2}\\ \\ &=&\dfrac{3^{k+1}}{3^{k+1} + 2}\\ \end{eqnarray*}
$よって \ \ n=k+1\ \ のときも成り立つ。$
$(Ⅰ),(Ⅱ)よりすべての自然数 \ n\ について \quad a_n=\dfrac{3^n}{3^n+2} $
(3)
(i)$\ \ a_n < 1 \ \ の証明$
$\quad 0 < 3^n <3^n+2 \ \ だから \quad \dfrac{3^n}{3^n+2}< 1$
(ii)$\ \ 1-\dfrac{2}{3^n} < a_n \ \ の証明$
$\quad a_n=\dfrac{3^n}{3^n+2}=\dfrac{3^n+2-2}{3^n+2}=1-\dfrac{2}{3^n+2}$
$\quad ここで \ \ 3^n+2 >3^n \ \ だから \quad \dfrac{1}{3^n+2} < \dfrac{1}{3^n} \qquad \therefore \ \ -\dfrac{2}{3^n+2} > -\dfrac{2}{3^n}$
$\quad よって \quad a_n=1-\dfrac{2}{3^n+2}> 1-\dfrac{2}{3^n}$
(4)
$L=a_1+a_2+a_3+ \cdots + a_{2025} \ \ とおくと(3) より \quad 1-\dfrac{2}{3^k} < a_k < 1 \ \ だから$
\[\sum_{k=1}^{2025} \big(1-\dfrac{2}{3^k}\big) < L < \sum_{k=1}^{2025} 1\] $左辺=2025 -\dfrac{\dfrac{2}{3}\big\{1-\big(\dfrac{1}{3}\big)^{2025}\big\}}{1-\dfrac{1}{3}}=2025-\big\{1-\big(\dfrac{1}{3}\big)^{2025}\big\}=2024+\big(\dfrac{1}{3}\big)^{2025}$
$ゆえに \quad 2024+\big(\dfrac{1}{3}\big)^{2025} < L < 2025$
$よって \ \ m \leqq L \ \ を満たす最大の整数は \ \ 2024$
$(研究)\ \ (2)で漸化式を直接解く方法$
$a_{n+1}=\dfrac{3a_n}{2a_n+1}\ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots )\ \ において$
$数学的帰納法をつかって \ \ a_n \ne 0 \ \ を示せるから、両辺の逆数をとって$
$\dfrac{1}{a_{n+1}}=\dfrac{2a_n+1}{3a_n}=\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3a_n}$
$\dfrac{1}{a_n}=b_n \ \ とおくと \quad b_1=\dfrac{1}{a_1}=\dfrac{5}{3}$
$b_{n+1}=\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}b_n$
$特性方程式(補助方程式) \ \ t=\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}t \ \ を解いて \quad t=1 \ \ よって$
$ b_{n+1}-1=\dfrac{1}{3}(b_n-1)$
$b_n-1=(b_1-1)\big(\dfrac{1}{3}\big)^{n-1}$
\begin{eqnarray*} b_n &=&1+(\dfrac{5}{3}-1)\big(\dfrac{1}{3}\big)^{n-1}\\ \\ &=&1+\dfrac{2}{3}\big(\dfrac{1}{3}\big)^{n-1}\\ \\ &=&1+\dfrac{2}{3^n}\\ \\ &=&\dfrac{3^n+2}{3^n} \end{eqnarray*} $よって \quad a_n=\dfrac{1}{b_n}=\dfrac{3^n}{3^n+2}$
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