筑波大学(理系) 2026年　問題6


$e\ は自然対数の底とする。関数 \ f(x)\ は、導関数 \ f'(x)\ および第 \ 2\ 次導関数 \ f''(x)\ をもち、すべての$
$実数 \ x\ について$
\[\hspace{5em} f(x)=e^x\cos x - \int_0^x f(t)\sin (t-x)dt\] $を満たす。以下の問いに答えよ。$
\[(1)\ \ \int_0^x e^t\cos tdt,\quad \int_0^x e^t\sin tdt\ \ を求めよ。\] $(2)\ \ f(0),\ \ f'(0),\ \ f''(0)\ \ を求めよ。$
$(3)\ \ f''(x) \ \ を求めよ。$
$(4)\ \ f(x) \ \ を求めよ。$


(1)


\begin{eqnarray*} I(x) &=&\int_0^x e^t\cos tdt\\ \\ &=&\big[e^t\cos t\big]_0^x + \int_0^x e^t\sin tdt\\ \\ &=&e^x\cos x -1 + \big[e^t \sin t\big]_0^x - \int_0^x e^t\cos tdt\\ \\ &=&e^x\cos x -1 + e^x \sin x - I(x)\\ \end{eqnarray*} $2I(x)=e^x(\cos x + \sin x )- 1$

$\therefore \ \ I(x)=\dfrac{1}{2}e^x(\cos x + \sin x )- \dfrac{1}{2}$

\begin{eqnarray*} J(x) &=&\int_0^x e^t\sin tdt\\ \\ &=&\big[e^t\sin t\big]_0^x - \int_0^x e^t\cos tdt\\ \\ &=&e^x\sin x - \big[e^t \cos t\big]_0^x - \int_0^x e^t\sin tdt\\ \\ &=&e^x\sin x - e^x \cos x +1- J(x)\\ \end{eqnarray*} $2J(x)=e^x(\sin x - \cos x )+ 1$

$\therefore \ \ J(x)=\dfrac{1}{2}e^x(\sin x - \cos x )+ \dfrac{1}{2}$


(2)


\[I(0)=\int_0^0 e^t\cos tdt=0,\quad J(0)=\int_0^0 e^t\sin tdt=0\]
\[f(0)=e^0\cos 0 - \int_0^0 f(t)\sin (t-x)dt=1\] \begin{eqnarray*} f(x) &=&e^x\cos x - \int_0^x f(t)\sin (t-x)dt\\ \\ &=&e^x\cos x - \int_0^x f(t)(\sin t \cos x - \cos t \sin x)dt\\ \\ &=&e^x\cos x - \cos x \int_0^x f(t)\sin t dt + \sin x \int_0^x f(t) \cos t dt \\ \end{eqnarray*}
$両辺をxで微分すると$
\begin{eqnarray*} f'(x) &=&e^x\cos x - e^x\sin x + \sin x \int_0^x f(t)\sin t dt- \cos x \big(f(x)\sin x\big) +\\ \\ & &\quad \cos x \int_0^x f(t)\cos t dt + \sin x \big(f(x)\cos x \big)\\ \\ &=&e^x\cos x - e^x\sin x + \sin x \int_0^x f(t)\sin t dt + \cos x \int_0^x f(t)\cos t dt \\ \end{eqnarray*}
$f'(0)=e^0\cos 0 =1$


$さらに両辺をxで微分すると$
\begin{eqnarray*} f''(x) &=&e^x\cos x - e^x\sin x -e^x\sin x - e^x\cos x + \cos x \int_0^x f(t)\sin t dt + \sin x\big(f(x)\sin x\big) -\\ \\ & & \quad \sin x \int_0^x f(t)\cos t dt +\cos x \big(f(x)\cos x\big)\\ \\ &=&-2e^x\sin x + \cos x \int_0^x f(t)\sin t dt - \sin x \int_0^x f(t)\cos t dt + f(x)(\sin^2 x + \cos^2 x)\\ \end{eqnarray*} \[ここで　f(x)=e^x\cos x - \cos x \int_0^x f(t)\sin t dt + \sin x \int_0^x f(t) \cos t dt \ \ より\] \[\cos x \int_0^x f(t)\sin t dt - \sin x \int_0^x f(t) \cos t dt =e^x\cos x -f(x) \ \ だから\ \ \] $f''(x)=-2e^x\sin x +\big( e^x\cos x -f(x) \big) + f(x)=e^x\cos x -2e^x\sin x$

$よって \quad f''(0)=e^0\cos 0 -2e^0\sin 0 =1$


(3)


$(2) で導いたことから$

$f''(x)=e^x\cos x -2e^x\sin x$


(4)


$f''(x)=e^x\cos x -2e^x\sin x \ \ より$

$f'(0)=1 に注意して$

\begin{eqnarray*} f'(x) &=&\int_0^x e^t\cos tdt -2\int_0^x e^t\sin tdt+1\\ \\ &=&I(x)-2J(x)+1\\ \\ &=&\big\{\dfrac{1}{2}e^x(\cos x + \sin x )- \dfrac{1}{2}\big\} -2\big\{\dfrac{1}{2}e^x(\sin x - \cos x )+ \dfrac{1}{2}\big\}+1\\ \\ &=&\dfrac{3}{2}e^x\cos x - \dfrac{1}{2}e^x\sin x - \dfrac{1}{2}\\ \end{eqnarray*}
$f(0)=1 に注意して$

\begin{eqnarray*} f(x) &=&\dfrac{3}{2}\int_0^x e^t\cos tdt - \dfrac{1}{2}\int_0^x e^t\sin tdt - \dfrac{1}{2}x+1\\ \\ &=&\dfrac{3}{2}I(x)-\dfrac{1}{2}J(x)-\dfrac{1}{2}x+1\\ \\ &=&\dfrac{3}{2}\big\{\dfrac{1}{2}e^x(\cos x + \sin x )- \dfrac{1}{2}\big\}-\dfrac{1}{2} \big\{\dfrac{1}{2}e^x(\sin x - \cos x )+ \dfrac{1}{2}\big\}-\dfrac{1}{2}x+1\\ \\ &=&e^x\cos x + \dfrac{1}{2}e^x\sin x -\dfrac{1}{2}x \end{eqnarray*}

ページの先頭へ↑




メインメニュー　に戻る