筑波大学(理系) 2026年　問題4


$i\ を虚数単位とする。複素数平面の原点 \ O\ を中心とする半径 \ 1\ の円を \ C\ とする。$
$(1)\ \ C\ 上の点 \ z_1,\ z_2,\ z_3\ に対し、z_n=\cos \theta_n+i\sin \theta _n \ \ (n=1,\ 2,\ 3)\ \ とおく。ただし、\theta_n \ は実数である。$
$\quad このとき \quad \big|\dfrac{1}{z_1} + \dfrac{1}{z_2}+ \dfrac{1}{z_3}\big|^2=3+2\{\cos (\theta_1-\theta_2)+ \cos (\theta_2-\theta_3)+\cos (\theta_3-\theta_1)\} \ \ が成り立つことを示せ。$
$(2)\ \ 点 \ w\ が \ C\ 上を動くとき、\big|\dfrac{1}{w} + \dfrac{1}{w^2}+ \dfrac{1}{w^3}\big|\ \ の最大値と最小値を求め、最大値と最小値を与える \ w\ を$
$\quad それぞれ求めよ。$
$(3)\ \ 点 \ z\ が \ C\ 上を動くとき、\big|1+\dfrac{1}{z^5} + \dfrac{1}{z^{10}}\big|\ \ を最小にする \ z\ の個数を求めよ。$


(1)


\begin{eqnarray*} & &\big|\dfrac{1}{z_1} + \dfrac{1}{z_2}+ \dfrac{1}{z_3}\big|^2\\ \\ &=&\big|(\cos \theta_1-i\sin \theta_1)+(\cos \theta_2-i\sin \theta_2)+(\cos \theta_3-i\sin \theta_3)\big|^2\\ \\ &=&\big|(\cos \theta_1+\cos \theta_2 + \cos \theta_3 ) -i(\sin \theta_1 + \sin \theta_2 + \sin \theta_3)\big|^2\\ \\ &=&(\cos \theta_1+\cos \theta_2 + \cos \theta_3 )^2 +(\sin \theta_1 + \sin \theta_2 + \sin \theta_3)^2\\ \\ &=&\cos ^2\theta_1+\cos ^2\theta_2 + \cos ^2 \theta_3 +2(\cos \theta_1 \cos \theta_2 + \cos \theta_2 \cos \theta_3 +\cos \theta_3 \cos \theta_1) +\\ \\ & &\quad \sin ^2\theta_1+\sin ^2\theta_2 + \sin ^2 \theta_3 +2(\sin \theta_1 \sin \theta_2 + \sin \theta_2 \sin \theta_3 +\sin \theta_3 \sin \theta_1)\\ \\ &=&3 +2\big\{(\cos \theta_1 \cos \theta_2 + \sin \theta_1 \sin \theta_2) + (\cos \theta_2 \cos \theta_3 + \sin \theta_2 \sin \theta_3) + (\cos \theta_3 \cos \theta_1 + \sin \theta_3 \sin \theta_1)\big\}\\ \\ &=&3+ 2\big\{\cos (\theta_1-\theta_2)+\cos (\theta_2-\theta_3)+\cos (\theta_3-\theta_1)\big\}\\ \end{eqnarray*}

(2)


$|w^2|=|w|^2=1,\quad |w^3|=|w|^3=1 \ \ だから\ 点 \ w\ が \ C\ 上を動くとき、点 \ w^2,\ w^3\ も \ C\ 上を動く。$

$(1)で \ \ z_1=w=\cos \theta + i\sin \theta ,\quad z_2=w^2,\ \ z_3=w^3 \ \ とおくと$

$w^2=\cos 2\theta + i\sin 2\theta, \quad w^3=\cos 3\theta + i\sin 3\theta$

$このとき$
\begin{eqnarray*} & &\big|\dfrac{1}{w} + \dfrac{1}{w^2}+ \dfrac{1}{w^3}\big|^2\\ \\ &=&3+ 2\big\{\cos (\theta -2\theta )+\cos (2\theta-3\theta)+\cos (3\theta-\theta)\big\}\\ \\ &=&3+ 2(2\cos \theta +\cos 2\theta )\\ \\ &=&3+ 2(2\cos \theta + 2\cos ^2\theta -1)\\ \\ &=&4\cos ^2\theta +4\cos \theta +1\\ \\ &=&4\big(\cos \theta +\dfrac{1}{2}\big)^2\\ \end{eqnarray*}

　

$\cos \theta=t \ \ とおくと \quad -1 \leqq t \leqq 1$

$f(t)=4(t+\dfrac{1}{2})^2 \ \ について$

$t=-\dfrac{1}{2} \ \ で最小となり、最小値は \ \ 0$

$f(-1)=1,\ \ f(1)=9$

$-1 \leqq t \leqq 1 \ \ の範囲で \quad \big|\dfrac{1}{w} + \dfrac{1}{w^2}+ \dfrac{1}{w^3}\big|\ \ の$

$最大値は$

$\quad t=1 \ \ のときで、最大値は \ \ \sqrt{9}=3$

$\quad このとき \quad \cos \theta=1\ \ より \ \ \theta=0\ \ だから \ \ w=\cos 0+i\sin 0=1$

$最小値は$

$\quad t=-\dfrac{1}{2} \ \ のときで、最小値は \ \ 0$

$\quad このとき \quad \cos \theta=-\dfrac{1}{2}\ \ より \ \ \theta=\dfrac{2}{3}\pi,\quad \dfrac{4}{3}\pi \ \ だから$

$\quad w=\cos \dfrac{2}{3}\pi+i\sin \dfrac{2}{3}\pi=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\quad w=\cos \dfrac{4}{3}\pi+i\sin \dfrac{4}{3}\pi=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$


(3)



$|w^5|=|w|^5=1,\quad |w^{10}|=|w|^{10}=1 \ \ だから\ 点 \ w\ が \ C\ 上を動くとき、点 \ w^5,\ w^{10}\ も \ C\ 上を動く。$

$(1) で \ \ z_1=1, \ \ z_2=z^5=w=\cos \theta + i\sin \theta ,\quad z_3=z^{10}=w^2= \cos 2\theta+i\sin 2\theta \ \ とおくと$

$このとき$
\begin{eqnarray*} & &\big|1+\dfrac{1}{z^5} + \dfrac{1}{z^{10}}|^2\\ \\ &=&3+ 2\big\{\cos (0-\theta )+\cos (\theta-2\theta)+\cos (2\theta-0)\big\}\\ \\ &=&3+ 2(2\cos \theta +\cos 2\theta )\\ \\ &=&3+ 2(2\cos \theta + 2\cos ^2\theta -1)\\ \\ &=&4\cos ^2\theta +4\cos \theta +1\\ \\ \end{eqnarray*} $(2)より \ \ \cos \theta=-\dfrac{1}{2}\ \ で最小で、\theta=\dfrac{2}{3}\pi,\dfrac{4}{3}\pi$

$このとき \quad \sin \theta=\pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$よって \quad z^5=w=-\dfrac{1}{2} \pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}i$

$z=\cos \alpha +i\sin \alpha \ \ とおくと \quad z^5=\cos 5\alpha +i\sin 5\alpha \ \ だから$

　

(i)$\ \ z^5=-\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i=\cos \dfrac{2}{3}\pi + i\sin \dfrac{2}{3}\pi \ \ のとき$

$\quad 5\alpha =\dfrac{2}{3}\pi + 2k\pi\ \ (k\ は整数) \qquad \alpha=\dfrac{2}{15}\pi +\dfrac{2k}{5}\pi$

$\quad k=0 \ \ のとき \quad \alpha=\dfrac{2}{15}\pi \quad \zeta_0=\cos \dfrac{2}{15}\pi+i \sin \dfrac{2}{15}\pi$

$\quad k=1 \ \ のとき \quad \alpha=\dfrac{2}{15}\pi+\dfrac{2}{5}\pi=\dfrac{8}{15}\pi \quad \zeta_1=\cos \dfrac{8}{15}\pi+i \sin \dfrac{8}{15}\pi$

$\quad k=2 \ \ のとき \quad \alpha=\dfrac{2}{15}\pi+\dfrac{4}{5}\pi=\dfrac{14}{15}\pi \quad \zeta_2=\cos \dfrac{14}{15}\pi+i \sin \dfrac{14}{15}\pi$

$\quad k=3 \ \ のとき \quad \alpha=\dfrac{2}{15}\pi+\dfrac{6}{5}\pi=\dfrac{20}{15}\pi \quad \zeta_3=\cos \dfrac{20}{15}\pi+i \sin \dfrac{20}{15}\pi$

$\quad k=4 \ \ のとき \quad \alpha=\dfrac{2}{15}\pi+\dfrac{8}{5}\pi=\dfrac{26}{15}\pi \quad \zeta_4=\cos \dfrac{26}{15}\pi+i \sin \dfrac{26}{15}\pi$

　

(ii)$\ \ z^5=-\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}i=\cos \dfrac{4}{3}\pi + i\sin \dfrac{4}{3}\pi \ \ のとき$

$\quad 5\alpha =\dfrac{4}{3}\pi + 2k\pi\ \ (k\ は整数) \qquad \alpha=\dfrac{4}{15}\pi +\dfrac{2k}{5}\pi$

$\quad k=0 \ \ のとき \quad \alpha=\dfrac{4}{15}\pi \quad \eta_0=\cos \dfrac{4}{15}\pi+i \sin \dfrac{4}{15}\pi$

$\quad k=1 \ \ のとき \quad \alpha=\dfrac{4}{15}\pi+\dfrac{2}{5}\pi=\dfrac{10}{15}\pi \quad \eta_1=\cos \dfrac{10}{15}\pi+i \sin \dfrac{10}{15}\pi$

$\quad k=2 \ \ のとき \quad \alpha=\dfrac{4}{15}\pi+\dfrac{4}{5}\pi=\dfrac{16}{15}\pi \quad \eta_2=\cos \dfrac{16}{15}\pi+i \sin \dfrac{16}{15}\pi$

$\quad k=3 \ \ のとき \quad \alpha=\dfrac{4}{15}\pi+\dfrac{6}{5}\pi=\dfrac{22}{15}\pi \quad \eta_3=\cos \dfrac{22}{15}\pi+i \sin \dfrac{22}{15}\pi$

$\quad k=4 \ \ のとき \quad \alpha=\dfrac{4}{15}\pi+\dfrac{8}{5}\pi=\dfrac{28}{15}\pi \quad \eta_4=\cos \dfrac{28}{15}\pi+i \sin \dfrac{28}{15}\pi$

$よって \quad z\ の個数は以上の \ \ 10\ 個$


ページの先頭へ↑




メインメニュー　に戻る