筑波大学(理系) 2026年　問題3


$a\ を \ 2\ より大きい実数とし、関数 \ f(x),\ g(x)\ を \ f(x)=|x(x+a)|,\ \ g(x)=-2x\ \ で定める。xy\ 平面上で、$
$y=f(x) \ のグラフを \ C\ とし、y=g(x)\ のグラフを \ \ell \ とする。$
$(1)\ \ C\ と \ \ell \ は相異なる \ 3\ つの共有点を持つことを示せ。$
$(2)\ \ C\ と \ \ell \ の \ 3\ つの共有点を、x\ 座標の大きい方から順に \ P,\ Q,\ R\ とする。C\ と線分 \ PQ\ で囲まれる図形の$
$\quad 面積を \ S_1\ とし、C\ と線分 \ QR\ で囲まれる図形の面積を \ S_2\ とする。S_1,\ S_2\ を \ a\ を用いて表せ。$
$(3)\ \ a\ が \ 2 < a \leqq 8 \ \ の範囲を動くとき、S_1-S_2 \ \ のとりうる値の範囲を求めよ。$


(1)

　

(i)$\ \ x\leqq -a, \ \ x \geqq 0 \ \ のとき$

$C: f(x)=x(x+a) \ \ と \ \ g(x)=-2x \ \ の共有点は$

$x(x+a)=-2x \ \ より$

$x(x+a+2)=0 $

$x=0,\quad -a-2$

(ii)$\ \ -a \leqq x \leqq 0 \ \ のとき$

$C: f(x)=-x(x+a) \ \ と \ \ g(x)=-2x \ \ の共有点は$

$-x(x+a)=-2x \ \ より$

$x(x+a-2)=0 $

$x=0, \quad -a+2$

(i),(ii)$\ \ より \ C \ と \ \ell \ の共有点は \ \ (0,\ 0),\ \ (-a+2,\ 2a-4),\ \ (-a-2,\ 2a+4)\ \ の \ 3\ 点がある。$


(2)

　

(i)$\ \ S_1 \ について$

\begin{eqnarray*} S_1 &=&\int_{-a+2}^0 \big(-x(x+a)+2x\big)dx\\ \\ &=&-\int_{-a+2}^0 x(x+a-2)dx\\ \\ &=&-\big[\dfrac{x^2}{2}(x+a-2)\big]_{-a+2}^0 +\int_{-a+2}^0 \dfrac{x^2}{2}dx\\ \\ &=&\big[\dfrac{x^3}{6}\big]_{-a+2}^0\\ \\ &=&-\dfrac{(-a+2)^3}{6} \end{eqnarray*}
(ii)$\ \ S_2 \ について$

\begin{eqnarray*} S_2 &=&\int_{-a-2}^{-a} \big(-2x-(x^2+ax)\big)dx + \int_{-a}^{-a+2} \big(-2x-(-x^2-ax)\big)dx\\ \\ &=&-\int_{-a-2}^{-a} x(x+a+2)dx + \int_{-a}^{-a+2} x(x+a-2)dx\\ \\ &=&-\big[\dfrac{x^2}{2}(x+a+2)\big]_{-a-2}^{-a}+\int_{-a-2}^{-a}\dfrac{x^2}{2}dx +\big[\dfrac{x^2}{2}(x+a-2)\big]_{-a}^{-a+2}-\int_{-a}^{-a+2}\dfrac{x^2}{2}dx\\ \\ &=&-\dfrac{a^2}{2} \times 2+\big[\dfrac{x^3}{6}\big]_{-a-2}^{-a}-\dfrac{a^2}{2} \times (-2)-\big[\dfrac{x^3}{6}\big]_{-a}^{-a+2}\\ \\ &=&-a^2-\dfrac{a^3}{6}+\dfrac{(a+2)^3}{6}+a^2+\dfrac{(a-2)^3}{6}-\dfrac{a^3}{6}\\ \\ &=&4a \end{eqnarray*}

(3)


$S(a)=S_1-S_2 \ \ とおくと$

$S(a)=-\dfrac{1}{6}(-a+2)^3-4a$

$S'(a)=\dfrac{1}{2}(-a+2)^2-4=\dfrac{1}{2}(a^2-4a-4)$

$S'(a)=0 \ \ より \ \ 2 < a \leqq 8 \ \ だから \quad a=2 + 2\sqrt{2}$

$増減表$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} a & 2 & \cdots & 2+2\sqrt{2} & \cdots & 8\\ \hline S'(a) & & - & 0 & + & \\ \hline S(a) & & \searrow & 極小 & \nearrow & \\ \end{array} \]

　


$S(2)=-\dfrac{1}{6}(-2+2)^3-4 \times 2=-8$

$S(8)=-\dfrac{1}{6}(-8+2)^3-4 \times 8=4$

$S(a)\ は \ a=2+2\sqrt{2} \ \ のとき極小となり、極小値は$

$S(2+2\sqrt{2})=-\dfrac{1}{6}(-2\sqrt{2})^3-4 \times (2+2\sqrt{2})=\dfrac{8}{3}\sqrt{2}-8-8\sqrt{2}=-8-\dfrac{16}{3}\sqrt{2}$

$よって \quad -8-\dfrac{16}{3}\sqrt{2} \leqq S(a) \leqq 4$


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