筑波大学(理系) 2023年　問題5


$f(x)=x^{-2}e^x \ \ (x > 0)\ とし、曲線 \ y=f(x)\ を \ C\ とする。また \ h\ を正の実数とする。さらに、正の実数 \ t\ に$
$対して、曲線 \ C,\ 2\ 直線 \ x=t,\ x=t+h,\ および \ x\ 軸で囲まれた図形の面積を \ g(t)\ とする。$
$(1)\ \ g'(t)\ を求めよ。$
$(2)\ \ g(t)\ を最小にする \ t\ がただ \ 1\ つ存在することを示し、その \ t\ を \ h\ を用いて表せ。$
\[(3)\ \ (2)で得られた \ t\ を \ t(h)\ とする。このとき極限値 \ \ \lim_{h \rightarrow +0} t(h)\ \ を求めよ。\]


(1)


$f(x)=x^{-2}e^x \quad より \quad f'(x)=-2x^{-3}e^x+x^{-2}e^x=(x-2)x^{-3}e^x$

$f'(x)=0 \quad より \quad x=2$

\[ \quad f(x)\ の増減表は \qquad \begin{array}{c||c|c|c|c|c} x& 0 & \cdots & 2 & \cdots \\ \hline f'(x) & & - & 0 & + & \\ \hline f(x) & & \searrow & 極小 & \nearrow \\ \end{array} \]
$x=2 \ で \ f(x)\ は極小かつ最小となり、最小値は \ \ f(2)=\cfrac{e^2}{4} > 0$

　

\[f(x) > 0 \quad だから \quad g(t)=\int_t^{t+h}f(x)dx \] \begin{eqnarray*} g'(t) &=&f(t+h)-f(t)\\ \\ &=&(t+h)^{-2}e^{t+h}-t^{-2}e^t\\ \\ &=&(t+h)^{-2}t^{-2}\{t^2e^h-(t+h)^2\}e^t\\ \\ &=&(t+h)^{-2}t^{-2}\{(e^h-1)t^2-2ht-h^2\}e^t\\ \end{eqnarray*}

(2)


$g'(t)=0 \quad より \quad (e^h-1)t^2-2ht-h^2=0 \quad これを解いて$

$\quad t=\cfrac{h \pm \sqrt{h^2+h^2(e^h-1)}}{e^h-1}=\cfrac{h \pm h\sqrt{e^h}}{e^h-1}=\cfrac{h(1 \pm \sqrt{e^h})}{e^h-1}$

$この \ 2\ つの \ t\ をt_1,t_2\ \ (t_1 < t_2)\ \ とおくと \quad t_1=\cfrac{h(1 -\sqrt{e^h})}{e^h-1},\quad t_2=\cfrac{h(1 + \sqrt{e^h})}{e^h-1}$

$このとき \quad g'(t)=(t+h)^{-2}t^{-2}(e^h-1)(t-t_1)(t-t_2)e^t \quad と因数分解される。$

$h > 0 \ \ より \quad e^h > 1 \quad よって \quad t_1 < 0, \quad t_2 > 0$

\[ g(t)\ の増減表は \quad t > 0\ \ だから \qquad \begin{array}{c||c|c|c|c|c} t & 0 & \cdots & t_2 & \cdots \\ \hline g'(t) & & - & 0 & + & \\ \hline g(t) & & \searrow & 極小 & \nearrow \\ \end{array} \]
$t=t_2 \ で \ g(t)\ は極小かつ最小となる。$

$したがって \quad g(t)\ を最小にする \ t\ はただ \ 1\ つ存在し、 t=t_2=\cfrac{h(1 + \sqrt{e^h})}{e^h-1}$


(3)


$u(h)=e^h \quad とおくと \quad h \longrightarrow +0 \ \ のとき \ \ \cfrac{e^h-1}{h}=\cfrac{e^h-e^0}{h-0} \longrightarrow u'(0)=1 \quad だから$

\[\lim_{h \rightarrow +0} t(h)=\lim_{h \rightarrow +0} \cfrac{h(1 + \sqrt{e^h})}{e^h-1}=\lim_{h \rightarrow +0}\cfrac{(1 + \sqrt{e^h})}{\dfrac{e^h-1}{h}}=2\]

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