筑波大学(理系) 2023年 問題4
$a,\ b\ を実数とし、f(x)=x+a\sin x, \ \ g(x)=b\cos x \ \ とする。$
\[(1)\ \ 定積分 \ \ \int_{-\pi}^{\pi} f(x)g(x)dx \ \ を求めよ。\]
\[(2)\ \ 不等式 \quad \int_{-\pi}^{\pi} \{f(x)+g(x)\}^2dx \geqq \int_{-\pi}^{\pi} \{f(x)\}^2dx \ \ が成り立つことを示せ。\]
$(3)\ \ 曲線 \ y=|f(x)+g(x)|,\ 2\ 直線 \ x=-\pi,\ x=\pi ,\ および \ x\ 軸で囲まれた図形を \ x\ 軸の周りに \ 1\ 回転させて$
$\quad できる回転体の体積を \ V\ とする。このとき不等式 \quad V \geqq \cfrac{2}{3}\pi^2(\pi^2-6) \quad が成り立つことを示せ。$
$\quad さらに、等号が成立するときの \ a,\ b\ を求めよ。$
(1)
\begin{eqnarray*} & &\int_{-\pi}^{\pi} f(x)g(x)dx\\ \\ &=&\int_{-\pi}^{\pi} (x+a\sin x)\cdot b\cos xdx\\ \\ &=&b \int_{-\pi}^{\pi} x\cos xdx +ab \int_{-\pi}^{\pi} \sin x \cos xdx\\ \\ &=&b \big[x\sin x \big]_{-\pi}^{\pi} -b \int_{-\pi}^{\pi} \sin xdx + \cfrac{ab}{2} \int_{-\pi}^{\pi} \sin 2x dx\\ \\ &=&b \big[\cos x \big]_{-\pi}^{\pi} - \cfrac{ab}{4} \big[\cos 2x \big]_{-\pi}^{\pi}\\ \\ &=&b (\cos \pi - \cos (-\pi)) - \cfrac{ab}{4} (\cos 2\pi - \cos (-2\pi))\\ \\ &=&0 \end{eqnarray*}
(2)
\begin{eqnarray*} & &\int_{-\pi}^{\pi} \{f(x)+g(x)\}^2dx - \int_{-\pi}^{\pi} \{f(x)\}^2dx \\ \\ &=&\int_{-\pi}^{\pi} \big \{\{f(x)+g(x)\}^2 - \{f(x)\}^2\}\big\}dx\\ \\ &=&\int_{-\pi}^{\pi} \big \{2f(x)g(x) + \{g(x)\}^2\}\big\}dx\\ \\ &=&\int_{-\pi}^{\pi} \{g(x)\}^2\}dx \qquad ( (1)より \ \ 第 \ 1\ 項=0)\\ \\ &=&\int_{-\pi}^{\pi} b^2\cos ^2 xdx\\ \\ &=&\cfrac{b^2}{2}\int_{-\pi}^{\pi} (1+\cos 2x)dx\\ \\ &=&b^2 \int_0^{\pi} (1+\cos 2x)dx\\ \\ &=&b^2 \big[x+\cfrac{1}{2}\sin 2x\big]_0^{\pi}\\ \\ &=&\pi b^2\\ \\ &\geqq &0 \end{eqnarray*} \[よって \quad \int_{-\pi}^{\pi} \{f(x)+g(x)\}^2dx \geqq \int_{-\pi}^{\pi} \{f(x)\}^2dx \quad ただし、等号は \ b=0\ のとき\]
(3)
\begin{eqnarray*} V &=&\pi \int_{-\pi}^{\pi} |f(x)+g(x)|^2dx\\ \\ &=&\pi \int_{-\pi}^{\pi} \{f(x)+g(x)\}^2dx \qquad ((2)より)\\ \\ &\geqq & \pi \int_{-\pi}^{\pi} \{f(x)\}^2dx\\ \\ &=&\pi \int_{-\pi}^{\pi} (x+a\sin x)^2dx\\ \\ &=&2\pi \int_0^{\pi} (x+a\sin x)^2dx\\ \\ &=&2\pi \int_0^{\pi} (x^2+2ax\sin x + a^2\sin ^2 x)dx\\ \end{eqnarray*} $それぞれの積分は$
\[I_1=\int_0^{\pi} x^2 dx =\big[\cfrac{x^3}{3} \big]_0^{\pi}=\cfrac{1}{3}\pi ^3 \]
\begin{eqnarray*} I_2 &=&\int_0^{\pi} x\sin x dx\\ \\ &=&\big[-x\cos x\big]_0^{\pi}+\int_0^{\pi}\cos xdx\\ \\ &=&\pi +\big[\sin x\big]_0^{\pi}\\ \\ &=&\pi \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} I_3 &=&\int_0^{\pi} \sin ^2x dx\\ \\ &=&\cfrac{1}{2}\int_0^{\pi}(1-\cos 2x)dx\\ \\ &=&\cfrac{1}{2}\big[x-\cfrac{1}{2}\sin 2x\big]_0^{\pi}\\ \\ &=&\cfrac{1}{2}\pi \end{eqnarray*}
$よって$
\begin{eqnarray*} V &\geqq& 2\pi(\cfrac{1}{3}\pi ^3 + 2a\pi+\cfrac{1}{2}\pi a^2)\\ \\ &=&\pi ^2a^2+4\pi ^2a +\cfrac{2}{3}\pi ^4\\ \\ &=&\pi ^2(a + 2)^2 +\cfrac{2}{3}\pi ^4 -4\pi ^2\\ \\ &=&\pi ^2(a + 2)^2 +\cfrac{2}{3}\pi ^2(\pi ^2-6)\\ \\ &\geqq&\cfrac{2}{3}\pi ^2(\pi ^2-6)\\ \end{eqnarray*} $ゆえに \quad V \geqq \cfrac{2}{3}\pi ^2(\pi ^2-6)$
$ただし、等号は \quad a=-2,\quad b=0 \ \ ((2)より)\ \ のとき$
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