筑波大学(理系) 2023年　問題3


$座標空間内の原点 \ O\ を中心とする半径 \ r\ の球面 \ S\ 上に \ 4\ つの頂点がある四面体 \ ABCD\ が、$
$\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}+\vec{OD}=\vec{0} \ \ を満たしているとする。また三角形 \ ABC\ の重心を \ G\ とする。$
$(1)\ \ \vec{OG}\ を \ \vec{OD}\ を用いて表せ。$
$(2)\ \ \vec{OA}\cdot \vec{OB}+ \vec{OB}\cdot \vec{OC}+ \vec{OC}\cdot \vec{OA}\ を \ r\ を用いて表せ。$
$(3)\ \ 点 \ P\ が球面 \ S\ 上を動くとき、\vec{PA}\cdot \vec{PB}+ \vec{PB}\cdot \vec{PC}+ \vec{PC}\cdot \vec{PA}\ の最大値を \ r\ を用いて表せ。$
$\quad さらに、最大値をとるときの点 \ P\ に対して、|\vec{PG}|\ を \ r\ を用いて表せ。$


(1)

　

$\vec{OG}=\cfrac{\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}}{3} \quad だから \quad \vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=3\vec{OG}$

$\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}+\vec{OD}=\vec{0} \ \ に代入して$

$3\vec{OG}+\vec{OD}=\vec{0}$

$\vec{OG}=-\cfrac{1}{3}\vec{OD}$


(2)


$\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=-\vec{OD} \quad より$

$|\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}|^2=|\vec{OD}|^2$

$|\vec{OA}|^2 + |\vec{OB}|^2 + |\vec{OC}|^2 + 2(\vec{OA}\cdot \vec{OB}+ \vec{OB}\cdot \vec{OC}+ \vec{OC}\cdot \vec{OA})=|\vec{OD}|^2$

$4\ 点 \ A,\ B,\ C,\ D\ は半径 \ r\ の球面S上にあるから \quad |\vec{OA}|= |\vec{OB}|=|\vec{OC}|=|\vec{OD}|=r$

$これらを代入して$

$3r^2 + 2(\vec{OA}\cdot \vec{OB}+ \vec{OB}\cdot \vec{OC}+ \vec{OC}\cdot \vec{OA})=r^2$

$\therefore \ \ \vec{OA}\cdot \vec{OB}+ \vec{OB}\cdot \vec{OC}+ \vec{OC}\cdot \vec{OA}=-r^2$


(3)


\begin{eqnarray*} R &=&\vec{PA}\cdot \vec{PB}+ \vec{PB}\cdot \vec{PC}+ \vec{PC}\cdot \vec{PA}\\ \\ &=&(\vec{OA}-\vec{OP}) \cdot (\vec{OB}-\vec{OP}) + (\vec{OB}-\vec{OP}) \cdot (\vec{OC}-\vec{OP})+(\vec{OC}-\vec{OP}) \cdot (\vec{OA}-\vec{OP})\\ \\ &=&\{\vec{OA} \cdot \vec{OB}- (\vec{OA}+\vec{OB}) \cdot \vec{OP} +|\vec{OP}|^2 \}+ \{\vec{OB} \cdot \vec{OC}- (\vec{OB}+\vec{OC}) \cdot \vec{OP} +|\vec{OP}|^2 \}+\\ & &\hspace{3em} \{\vec{OC} \cdot \vec{OA}- (\vec{OC}+\vec{OA}) \cdot \vec{OP} +|\vec{OP}|^2 \}\\ \\ &=&(\vec{OA}\cdot \vec{OB}+ \vec{OB}\cdot \vec{OC}+ \vec{OC}\cdot \vec{OA})-2(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}) \cdot \vec{OP} +3|\vec{OP}|^2 \\ \\ &=&-r^2+2\vec{OD}\cdot \vec{OP} +3r^2\\ \\ &=&2r^2+2\vec{OD}\cdot \vec{OP} \end{eqnarray*}
$\vec{OD} と \vec{OP}のなす角を \theta とおくと$

$R=2r^2+2|\vec{OD}||\vec{OP}|\cos \theta =2r^2+2r^2 \cos \theta $

$R\ は \ \cos \theta=1\ のとき、すなわち \ \ \theta=0\ \ のとき最大となり、最大値は \ \ R=4r^2$

$このとき \quad \vec{OD}=\vec{OP} \quad となるから$

$\vec{PG}=\vec{OG}-\vec{OP}=-\cfrac{1}{3}\vec{OD}-\vec{OP}=-\cfrac{4}{3}\vec{OP}$

$|\vec{PG}|=\cfrac{4}{3}|\vec{OP}|=\cfrac{4}{3}r$


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