筑波大学(理系) 2023年　問題2


$\alpha ,\ \beta \ を実数とし、\alpha > 1 \ とする。曲線 \ C_1:y=|x^2-1|\ と曲線 \ C_2:y=-(x-\alpha )^2+\beta \ が、点(\alpha,\ \beta)\ と$
$点(p,\ q)\ の \ 2\ 点で交わるとする。また、C_1\ と \ C_2\ で囲まれた図形の面積を \ S_1\ とし、x軸、\ 直線 \ x=\alpha ,$
$および \ C_1\ の \ x \geqq 1 \ を満たす部分で囲まれた図形の面積を \ S_2\ とする。$
$(1)\ \ p\ を \ \alpha \ を用いて表し、0 < p < 1 \ であることを示せ。$
$(2)\ \ S_1\ を \ \alpha \ を用いて表せ。$
$(3)\ \ S_1 > S_2 \ であることを示せ。$


(1)

　

$\alpha > 1 \ \ だから \ \ C_1:y=x^2-1\ \ と \ \ C_2:y=-(x-\alpha )^2+\beta \ \ が$

$点A(\alpha,\ \beta )\ で交わる。$

$すなわち \ \ 点A(\alpha,\ \beta )\ は \ C_1:y=x^2-1 \ \ 上の点だから \quad \beta =\alpha ^2 -1$

$このとき \ \ C_2\ は \quad y=-(x-\alpha )^2+ \alpha ^2 -1 =-x^2 +2\alpha x -1$

(i)$\ \ 交点(p,\ q)\ が \ \ C_1:y=x^2-1\ \ 上にある場合$

\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} q=p^2 -1 \\ q=-p^2+2\alpha p -1\\ \end{array} \right. \]
$\quad p^2 -1 =-p^2+2\alpha p -1 \qquad 2p^2-2\alpha p=0 \qquad p(p-\alpha)-0$

$\quad \therefore\ \ p=0,\quad \alpha \qquad これらはともに不適$

(ii)$\ \ 交点(p,\ q)\ が\ \ C_1:y=-x^2+1 \ \ 上にある場合$

\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} q=-p^2 +1 \\ q=-p^2+2\alpha p -1\\ \end{array} \right. \]
$\quad -p^2 +1 =-p^2+2\alpha p -1 \qquad 2\alpha p=2 \qquad \therefore\ \ p=\cfrac{1}{\alpha}$

$\quad \alpha > 1 \quad だから \quad 0 < p <1 $


(2)

　

\begin{eqnarray*} S_1 &=&\int_{\scriptsize{\cfrac{1}{\alpha}}}^1\{(-x^2+2\alpha x -1)-(-x^2+1)\}dx\\ & & \hspace{5em}+\int _1^{\alpha}\{(-x^2+2\alpha x -1)-(x^2-1)\}dx\\ \\ &=&\int_{\scriptsize{\cfrac{1}{\alpha}}}^1(2\alpha x -2)dx+\int _1^{\alpha}(-2x^2+2\alpha x )dx\\ \\ &=&\big[\alpha x^2 -2x\big]_{\scriptsize{\cfrac{1}{\alpha}}}^1 +[-\cfrac{2}{3}x^3+\alpha x^2] _1^{\alpha}\\ \\ &=&(\alpha -2)-(\cfrac{1}{\alpha}-\cfrac{2}{\alpha})+(-\cfrac{2}{3}\alpha ^3+\alpha ^3)-(-\cfrac{2}{3}+\alpha)\\ \\ &=&\cfrac{1}{3}\alpha ^3 +\cfrac{1}{\alpha} -\cfrac{4}{3}\\ \end{eqnarray*}

(3)


\[S_2=\int_1^{\alpha}(x^2 -1)dx =\big[\cfrac{x^3}{3}-x \big] _1^{\alpha} =\cfrac{1}{3}\alpha ^3 - \alpha +\cfrac{2}{3}\]
$よって$

\begin{eqnarray*} S_1-S_2 &=&\big(\cfrac{1}{3}\alpha ^3 +\cfrac{1}{\alpha} -\cfrac{4}{3}\big)-\big(\cfrac{1}{3}\alpha ^3 - \alpha +\cfrac{2}{3}\big)\\ \\ &=&\alpha +\cfrac{1}{\alpha} - 2\\ \\ &=&\cfrac{1}{\alpha}(\alpha ^2 -2\alpha +1)\\ \\ &=&\cfrac{1}{\alpha}(\alpha -1)^2\\ \\ &>&0 \end{eqnarray*}
$したがって　S_1 > S_2$


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