筑波大学(理系) 2022年 問題6
$i\ は虚数単位とする。次の条件 \ [Ⅰ],[Ⅱ]をどちらも満たす複素数 \ z\ 全体の集合を \ S\ とする。$
$\quad [Ⅰ]\ \ z\ の虚部は正である。$
$\quad [Ⅱ]\ \ 複素数平面上の点 \ A(1),\ B(1-iz),\ C(z^2)\ は一直線上にある。$
$このとき、以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ 1\ でない複素数 \ \alpha \ について、\alpha \ の虚部が正であることは、\cfrac{1}{\alpha -1}\ の虚部が負であるための必要十分条件$
$\quad であることを示せ。$
$(2)\ \ 集合 \ S\ を複素数平面上に図示せよ。$
$(3)\ \ w=\cfrac{1}{z-1} \ とする。z\ が \ S\ を動くとき、\big|w+\cfrac{i}{\sqrt{2}}\big|\ の最小値を求めよ。$
$(解説)$
$(1)\ \ \alpha =p+q\ i ,\quad \cfrac{1}{\alpha -1}=r+s\ i \ \ とおいてみましょう。$
$(2)\ \ 複素数平面上の \ 3\ 点が一直線上にある条件を求めます。$
$(3)\ \ (2)の\ z\ を \ w\ に変換して図形的に求めますが、2\ 通りについて調べる必要があります。$
(1)
(i)$\ \ 必要条件$
$\quad \alpha =p+q\ i \ \ (p,\ q \ は実数)\ \ とおくと \ \ \alpha \ の虚部が正だから \quad q > 0$
$\quad このとき$
$\quad \cfrac{1}{\alpha -1}=\cfrac{1}{p-1+q\ i}=\cfrac{p-1-q\ i}{(p-1)^2+q^2}=\cfrac{p-1}{(p-1)^2+q^2}-\cfrac{q}{(p-1)^2+q^2}\ i$
$\quad \cfrac{q}{(p-1)^2+q^2} > 0 \quad だから \quad \cfrac{1}{\alpha -1} \ \ の虚部は負である。$
(ii)$\ \ 十分条件$
$\quad \cfrac{1}{\alpha -1}=r+s\ i \ \ (r,\ s \ は実数)\ \ とおくと \quad \cfrac{1}{\alpha -1}\ \ の虚部が負だから \quad s < 0$
$\quad このとき$
$\quad \alpha -1=\cfrac{1}{r+s\ i}=\cfrac{r-s\ i}{r^2+s^2}$
$\quad \therefore \ \ \alpha =\cfrac{r-s\ i}{r^2+s^2}+1=\cfrac{r+r^2+s^2-s\ i}{r^2+s^2}=\cfrac{r+r^2+s^2}{r^2+s^2}-\cfrac{s}{r^2+s^2}\ i$
$\quad \cfrac{s}{r^2+s^2}< 0 \quad だから \quad \alpha \ \ の虚部は正である。$
(2)
$\quad 点A(1),\ B(1-iz),\ C(z^2)\ は一直線上にあるから \quad \vec{AC}=k\vec{AB} \ \ (k\ は実数)\ \ とおける。$
$\quad z^2-1=k(1-iz-1) \qquad z^2-1=-kiz$
$\quad z=x+y\ i \ \ (x,\ y \ は実数で、y > 0)\ \ とおくと \qquad (x+y\ i)^2-1=-ki(x+y\ i)$
$\quad x^2-y^2-1+2xyi=ky -kxi$
\[ \left\{ \begin{array}{l} x^2-y^2-1=ky \hspace{5em} ①\\ 2xy=-kx \ \hspace{7em}②\\ \end{array} \right. \] $②より x(2y+k)=0 \qquad \therefore \ \ x=0,\quad k=-2y$
(i)$\ \ x=0 \quad のとき$
$\quad A(1),\ B(1+y),\ C(-y^2)\ \ となり、3\ 点は実軸上の点だから一直線上にある。$
$\quad このとき \quad z=y\ i\ \ (y > 0) \ \ となる。$
(ii)$\ \ k=-2y \quad のとき$
$\quad ①に代入して \quad x^2-y^2-1=-2y^2 \qquad \therefore \ \ x^2+y^2=1 $
$\quad すなわち \quad |z|=1$
(i),(ii)$より、集合 \ S\ を図示したものが右図である。$
(3)
$\quad w=\cfrac{1}{z-1} \quad より \quad \cfrac{1}{w}=z-1 \qquad \therefore \ \ z=1+\cfrac{1}{w}$
(i)$\ \ z=y\ i\ \ のとき、これをあらためて \ \ z=k\ i\ \ (k > 0)\ \ とおくと$
$\quad 1+\cfrac{1}{w}=k\ i \quad だから \quad w=\cfrac{1}{-1+k\ i}=\cfrac{-1-k\ i}{1+k^2}$
$\quad x=-\cfrac{1}{1+k^2},\quad y=-\cfrac{k}{1+k^2} \ \ (y < 0)\ \ とおくと $
$\quad x^2+y^2=\cfrac{1+k^2}{(1+k^2)^2}=\cfrac{1}{1+k^2}=-x$
$\quad (x+\cfrac{1}{2})^2+y^2=\cfrac{1}{4}$
$\quad よって \quad 点 \ P(w)\ は中心 \ C(-\cfrac{1}{2}),\ \ 半径 \ \ \cfrac{1}{2}\ \ の下半分の半円を表す。$
$\quad \big|w+\cfrac{i}{\sqrt{2}}\big|\ \ は点 \ P(w)\ と点 \ A(-\cfrac{i}{\sqrt{2}})\ の距離だからこれが最小となるのは$
$\quad 右図のとおり、円の中心 \ C\ と \ A\ を結ぶ直線との交点 \ P\ のときである。$
$\quad AC=\sqrt{(-\cfrac{1}{2})^2+(-\cfrac{1}{\sqrt{2}})^2}=\cfrac{\sqrt{3}}{2},\qquad PC=\cfrac{1}{2} \quad だから$
$\quad 最小値は \quad AP=\cfrac{\sqrt{3}}{2}-\cfrac{1}{2}=\cfrac{\sqrt{3}-1}{2}$
(ii)$\ \ |z|=1 \quad のとき$
$\quad z=1+\cfrac{1}{w} \quad より \quad \big|1+\cfrac{1}{w}\big|=1 \qquad \big|\cfrac{w+1}{w}\big|=1$
$\qquad \therefore \ \ |w+1|=|w|$
$\quad 左辺は \ P(w)\ と点(-1)\ との距離で、右辺は \ P(w)\ と原点との距離だから、$
$\quad これが等しい点は、点\ (-1)\ と原点を結ぶ線分の垂直二等分線 \ l\ 上の$
$\quad 点である。$
$(別解)$
$\quad w=x+y\ i \quad とおくと \qquad |x+y\ i+1|=|x+y\ i| \quad より$
$\quad (x+1)^2+y^2=x^2+y^2 \qquad 2x+1=0 $
$\quad \therefore \ \ x=-\cfrac{1}{2}$
$\quad (1)より、z\ の虚部が正であることと \ \ w=\cfrac{1}{z-1}\ \ の虚部が負であることは$
$\quad 同値だから、点P(w)の動く範囲は右図である。$
$\quad 点 \ P(w)\ と点 \ A(-\cfrac{i}{\sqrt{2}})\ の距離の最小は、点 \ A\ と直線 \ l\ との距離で、\cfrac{1}{2}\ \ である。$
(i),(ii)$より \quad \cfrac{1}{2} - \cfrac{\sqrt{3}-1}{2}=\cfrac{2-\sqrt{3}}{2} >0 \quad だから \quad \cfrac{1}{2} > \cfrac{\sqrt{3}-1}{2}$
$\quad よって、求める最小値は \quad \cfrac{\sqrt{3}-1}{2}$
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