筑波大学(理系) 2022年 問題5
$曲線 \ C:y=(x+1)e^{-x}\ \ (x>-1) \ \ 上の点 \ P\ における法線と \ x\ 軸との交点を \ Q\ とする。点 \ P\ の \ x\ 座標を$
$t\ とし、点 \ Q\ と点 \ R(t,\ 0)\ との距離を \ d(t)\ とする。$
$(1)\ \ d(t)\ を \ t\ を用いて表せ。$
$(2)\ \ x \geqq 0 \ \ のとき \ \ e^x \geqq 1+x+\cfrac{x^2}{2}\ \ であることを示せ。$
$(3)\ \ 点 \ P\ が曲線 \ C\ 上を動くとき、d(t)\ の最大値を求めよ。$
$(解説)$
$(1)\ \ 点 \ の位置により点 \ Q,\ R\ の位置が入れ替わります。なお、法線は接点において接線に直交する直線で、$
$\quad d(t)\ を法線影といいます。$
$(2)\ \ よくある問題です。$
$(3)\ \ t\ の正負により \ d(t)\ の符号が変わるので、2\ つの極大値の大小を比べる必要がありますが、結構やっかいです。$
$\quad そのために(2)が必要になります。$
(1)
$y=(x+1)e^{-x}\ \ について y'=e^{-x}-(x+1)e^{-x}=-xe^{-x}$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} x & -1 & \cdots & 0 & \cdots \\ \hline y' & & + & 0 & - \\ \hline y & 0 & \nearrow & 極大 & \searrow \\ \end{array} \]
$y\ は \ \ x=0 \ \ で極大となり、極大値は\ \ 1$
$(2)で証明しますが、x > 0\ \ のとき \quad e^x >1+x +\cfrac{x^2}{2} \quad より \quad 0 < (x+1)e^{-x} <\cfrac{x+1}{1+x+\dfrac{x^2}{2}}$
$x \longrightarrow \infty \quad とすると \quad \cfrac{x+1}{1+x+\dfrac{x^2}{2}} \longrightarrow 0 \quad だからはさみうちの原理により$
$(x+1)e^{-x} \longrightarrow 0 \quad したがって \ x\ 軸は漸近線となります。$
$よって、曲線Cのグラフは右図のようになります。$
$y=(x+1)e^{-x} \ \ (x>-1) \ \ 上の点 \ P(t,\ (t+1)e^{-t}) \quad における法線は$
$y'=-xe^{-x} \quad より$
$y=\cfrac{e^t}{t}(x-t)+(t+1)e^{-t} \quad だから \quad y=\cfrac{e^t}{t}x-e^t+(t+1)e^{-t}$
$y=0 \quad とおくと \quad \cfrac{e^t}{t}x=e^t-(t+1)e^{-t} \qquad x=\cfrac{t}{e^t}(e^t-(t+1)e^{-t})=t-t(t+1)e^{-2t} \qquad \therefore \ \ Q(t-t(t+1)e^{-2t},\ 0)$
$したがって \quad d(t)=|t-(t-t(t+1)e^{-2t})|=|t(t+1)e^{-2t}|=|t|(t+1)e^{-2t}$
(2)
$f(x)=e^x -(1+x+\cfrac{x^2}{2}) \quad とおくと \quad f'(x)=e^x-1-x \qquad f''(x)=e^x-1$
$x > 0 \quad のとき \quad e^x >1 \quad だから \quad f''(x) >0 $
$f'(x) \ \ は単調増加だから \quad f'(x) > f'(0)=0$
$f(x) \ \ は単調増加だから \quad f(x) > f(0)=0 $
$よって \quad e^x -(1+x+\cfrac{x^2}{2})>0 $
$したがって \quad x \geqq 0 \ \ のとき \quad e^x \geqq 1+x+\cfrac{x^2}{2}$
(3)
$(1)より \quad d(t)=|t|(t+1)e^{-2t} \quad だから$
(i)$\ \ t \geqq 0 \quad のとき$
$\quad d(t)=t(t+1)e^{-2t} $
$\quad d'(t)=(2t+1)e^{-2t}-2t(t+1)e^{-2t}=-(2t^2-1)e^{-2t}$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} t & 0 & \cdots & \small{\cfrac{1}{\sqrt{2}}} & \cdots \\ \hline d'(t) & & + & 0 & - \\ \hline d(t) & 0 & \nearrow & 極大 & \searrow \\ \end{array} \] $\quad d(t)\ は \ \ t=\cfrac{1}{\sqrt{2}} \ \ で極大となり、極大値は \quad d(\cfrac{1}{\sqrt{2}} )=\cfrac{1}{\sqrt{2}}(\cfrac{1}{\sqrt{2}}+1)e^{-\sqrt{2}}=\cfrac{\sqrt{2}+1}{2}e^{-\sqrt{2}}$
(ii)$\ \ -1< t < 0 \quad のとき$
$\quad d(t)=-t(t+1)e^{-2t} $
$\quad d'(t)=(2t^2-1)e^{-2t}$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} t & -1 & \cdots & -\small{\cfrac{1}{\sqrt{2}}} & \cdots & 0\\ \hline d'(t) & & + & 0 & - & \\ \hline d(t) & 0 & \nearrow & 極大 & \searrow & 0\\ \end{array} \] $\quad d(t)\ は \ \ t=-\cfrac{1}{\sqrt{2}} \ \ で極大となり、極大値は \quad d(-\cfrac{1}{\sqrt{2}} )=\cfrac{1}{\sqrt{2}}(-\cfrac{1}{\sqrt{2}}+1)e^{\sqrt{2}}=\cfrac{\sqrt{2}-1}{2}e^{\sqrt{2}}$
$最大値を求めるために、2\ つの極大値の大小を決定します。$
$\quad d_1=2e^{\sqrt{2}}d(\cfrac{1}{\sqrt{2}} )=\sqrt{2}+1 , \quad d_2=2e^{\sqrt{2}}d(-\cfrac{1}{\sqrt{2}} )=(\sqrt{2}-1)e^{2\sqrt{2}} \quad とおくと$
$\quad (2)より e^x \geqq 1+x+\cfrac{x^2}{2} \quad だから \quad e^{2\sqrt{2}} >1+2\sqrt{2}+4=5+2\sqrt{2}$
$\quad d_2-d_1=(\sqrt{2}-1)e^{2\sqrt{2}} -(\sqrt{2}+1 ) > (\sqrt{2}-1)(5+2\sqrt{2})-(\sqrt{2}+1) =2(\sqrt{2}-1) > 0 $
$\quad d_2 > d_1 \quad より \quad d(-\cfrac{1}{\sqrt{2}} )> d(\cfrac{1}{\sqrt{2}} ) $
$したがって \quad d(t) \ \ は \quad t=-\cfrac{1}{\sqrt{2}}\quad のとき 最大値 \quad \cfrac{\sqrt{2}-1}{2}e^{\sqrt{2}} \quad をとる。$
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