筑波大学(理系) 2022年　問題4


$0 < a < 4 \ \ とする。曲線 \ C_1\ :y=4\cos ^2 x \ \ (-\cfrac{\pi}{2} < x < \cfrac{\pi}{2} )\ ,\ \ C_2\ :y=a-\tan ^2 x \ \ (-\cfrac{\pi}{2} < x < \cfrac{\pi}{2} ) \ \ は$
$ちょうど \ 2\ つの共有点をもつとする。$
$(1)\ \ a\ の値を求めよ。$
$(2)\ \ C_1\ と \ C_2\ で囲まれた部分の面積を求めよ。$


$(解説)$

$(1)\ \ 2\ 曲線の共有点が \ 2\ つということは接するということです。$
$(2)\ \ ごく普通に定積分で求めます。$


(1)


$C_1,\ C_2\ ともに偶関数であるからグラフは \ y\ 軸について対称である。したがって、0 \leqq x < \cfrac{\pi}{2}\ \ で考えればよい。$

$ちょうど \ 2\ つの共有点をもつとということは、0 \leqq x < \cfrac{\pi}{2}\ \ で$
$接するということである。$

　
$導関数は \quad y'=-8\cos x \sin x , \quad y'=-2\tan x \cdot \cfrac{1}{\cos ^2 x}=-\cfrac{2\sin x}{\cos ^3 x}$

$2\ 曲線が点(t,\ u)\ で接する条件は$

(i)$\ \ 関数値が等しい$

$\qquad 4\cos ^2 t = a-\tan ^2 t $

(ii)$\ \ 微分係数が等しい$

$\qquad -8\cos t\sin t = -\cfrac{2\sin t}{\cos ^3t}$

(ii)$\ \ より \quad 4\cos t\sin t = \cfrac{\sin t}{\cos ^3t} \qquad \sin t(4\cos ^4 t-1)=0$

$\qquad \sin t=0 \quad のとき \quad t=0 \quad このとき $ (i) $は \ \ a=4\ \ となり、条件 \ \ 0 < a < 4 \ \ を満たさない。$

$\qquad 4\cos ^4 t-1=0 \quad のとき \quad \cos ^2 t=\cfrac{1}{2} \qquad \cos t=\cfrac{1}{\sqrt{2}} \qquad \therefore t=\cfrac{\pi}{4}$

$\quad $(i)$\ に代入して \quad a=4\cos ^2 \cfrac{\pi}{4} +\tan ^2 \cfrac{\pi}{4}=3$


(2)


\[(\tan x)'=\cfrac{1}{\cos ^2 x} \quad だから \quad \int \cfrac{dx}{\cos ^2 x}=\tan x \qquad \int (1+\tan ^2x)dx=\tan x \qquad \therefore \ \ \int \tan ^2 xdx=\tan x -x\] $これをつかって$

　
\begin{eqnarray*} S &=&2\int _0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{4}}}\{4\cos ^2x - (3-\tan ^2x )\}dx\\ \\ &=&2\int _0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{4}}}\{2(1+\cos 2x) - 3 +\tan ^2x \}dx\\ \\ &=&2\big[\sin 2x - x + (\tan x -x) \big]_0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{4}}}\\ \\ &=&2\big[\sin 2x - 2x + \tan x \big]_0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{4}}}\\ \\ &=&2\big(1-\cfrac{\pi}{2}+1\big)\\ \\ &=&4-\pi\\ \end{eqnarray*}


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