筑波大学(理系) 2022年 問題2
$整数 \ a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots \ \ を、さいころをくり返し投げることにより、以下のように定めていく。$
$まず、a_1=1\ \ とする。そして、正の整数 \ n\ に対し、a_{n+1}\ \ の値を、n\ 回目に出たさいころの目に応じて、$
$次の規則で定める。$
$(規則)\ \ n\ 回目に出た目が \ 1,\ 2,\ 3,\ 4\ \ なら \ \ a_{n+1}=a_n \ \ とし、5,\ 6\ \ なら \ \ a_{n+1}=-a_n \ \ とする。$
$たとえば、さいころを \ 3\ 回投げ、その出た目が順に \ 5,\ 3,\ 6\ であったとすると、a_1=1,\ a_2=-1,\ a_3=-1,$
$a_4=1 \ \ となる。$
$a_n=1 \ \ となる確率を \ p_n\ \ とする。ただし、p_1=1 \ \ とし、さいころのどの目も、出る確率は \ \ \cfrac{1}{6}\ \ であるとする。$
$(1)\ \ p_2,\ \ p_3\ \ を求めよ。$
$(2)\ \ p_{n+1}\ \ を \ \ p_n \ \ を用いて表せ。$
$(3)\ \ p_n \leqq 0.5000005 \ \ を満たす最小の正の整数 \ n\ を求めよ。$
$\quad ただし、0.47 < \log _{10}3 < 0.48 \ \ であることを用いてよい。$
$(解説)$
$(1)\ \ p_2\ は \ a_2=1\ となる事象の確率で、p_3\ は \ a_3=1\ となる事象の確率です。$
$(2)\ \ a_n=1\ となる事象から \ a_{n+1}=1\ となる事象は互いに排反で \ 2\ 通りあります。$
$(3)\ \ (2)で得られた漸化式を解いて、指数不等式の \ n\ を常用対数で求めることになります。$
(1)
$確率つきの樹形図は右のとおりです。$
$\qquad p_2=\cfrac{2}{3}$
\begin{eqnarray*}
p_3
&=&P(a_2=1,\ a_3=1)+P(a_2=-1,\ a_3=1)\\
\\
&=&\cfrac{2}{3} \times \cfrac{2}{3} + \cfrac{1}{3} \times \cfrac{1}{3}\\
&=&\cfrac{5}{9}
\end{eqnarray*}
(2)
$a_n=-1 \ となる事象は \ a_n=1\ となる事象の余事象だから$
$その確率は \quad P(a_n=-1)=1-P(a_n=1)=1-p_n$
$右の樹形図より$
\begin{eqnarray*}
p_{n+1}
&=&P(a_n=1,\ a_{n+1}=1)+P(a_n=-1,\ a_{n+1}=1)\\
&=&p_n \times \cfrac{2}{3} + (1-p_n) \times \cfrac{1}{3}\\
&=&\cfrac{1}{3}p_n+\cfrac{1}{3}\\
\end{eqnarray*}
$よって \quad p_1=1 \quad p_{n+1}=\cfrac{1}{3}p_n+\cfrac{1}{3}$
(3)
$p_{n+1}=\cfrac{1}{3}p_n+\cfrac{1}{3} \quad の特性方程式は \quad t=\cfrac{1}{3}t +\cfrac{1}{3} \qquad これを解いて \quad t=\cfrac{1}{2}$
$辺々引いて \quad p_{n+1}-\cfrac{1}{2}=\cfrac{1}{3}(p_n-\cfrac{1}{2})$
$n \geqq 2 のとき$
$p_n=\cfrac{1}{2}+(p_1-\cfrac{1}{2})(\cfrac{1}{3})^{n-1}=\cfrac{1}{2}+(1-\cfrac{1}{2})\cdot \cfrac{1}{3^{n-1}}=\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{2\cdot 3^{n-1}}$
$n=1 \ のとき \quad 右辺＝\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{2\cdot 3^0}=1 \quad となって \ \ p_1=1 \ \ に一致するから$
$p_n=\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{2\cdot 3^{n-1}}\ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$p_n \leqq 0.5000005 \ \ を満たす \ n\ は \quad \cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{2\cdot 3^{n-1}} \leqq 0.5000005 $
$\cfrac{1}{2\cdot 3^{n-1}} \leqq 0.0000005 = 5 \times 10^{-7}$
$両辺の逆数をとって \qquad 2\cdot 3^{n-1} \geqq \cfrac{1}{5} \times 10^7 \qquad 3^{n-1} \geqq 10^6$
$(n-1)\log _{10}3 \geqq 6 \qquad n \geqq 1+\cfrac{6}{\log _{10}3}$
$ここで \quad 0.47 < \log _{10}3 < 0.48 \quad だから \quad \cfrac{6}{0.48} < \cfrac{6}{\log _{10}3} < \cfrac{6}{0.47} \qquad \therefore \ \ 12.5 < \cfrac{6}{\log _{10}3} < 12.8$
$したがって \quad 求める最小の自然数 \ n\ は \ \ n=14$
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