筑波大学(理系) 2021年 問題2
$t=\sin \theta + \cos \theta \ \ とし、\theta \ \ は \ \ -\cfrac{\pi}{2} < \theta < \cfrac{\pi}{2} \ \ の範囲を動くものとする。$
$(1)\ t\ のとりうる値の範囲を求めよ。$
$(2)\ \sin ^3 \theta + \cos ^3 \theta \ \ と \ \ \cos 4\theta \ \ を、それぞれ \ t\ を用いて表せ。$
$(3)\ \sin ^3 \theta + \cos ^3 \theta =\cos 4\theta \ \ であるとき、t\ の値をすべて求めよ。$
$(解説)$
$(1)は\ \ 合成して求めます。$
$(2)は\ \ まず、\sin \theta \cos \theta \ を \ tであらわしておきます。$
$(3)は\ \ 4\ 次方程式となりますので、因数定理をつかって次数を下げます。$
(1)
$\quad t=\sin \theta + \cos \theta =\sqrt{2}\sin (\theta + \cfrac{\pi}{4})$
$\qquad -\cfrac{\pi}{2} < \theta < \cfrac{\pi}{2} \quad より \quad -\cfrac{\pi}{4} < \theta +\cfrac{\pi}{4} < \cfrac{3\pi}{4} $
$\quad したがって \quad -\cfrac{1}{\sqrt{2}} < \sin (\theta + \cfrac{\pi}{4}) \leqq 1 \quad だから \quad -1 < t \leqq \sqrt{2}$
(2)
$\quad t^2=(\sin \theta + \cos \theta)^2=1+2\sin \theta \cos \theta \quad だから \quad \sin \theta \cos \theta=\cfrac{t^2-1}{2}$
\begin{eqnarray*} \sin ^3 \theta + \cos ^3 \theta &=&(\sin \theta + \cos \theta )^3-3\sin \theta \cos \theta (\sin \theta + \cos \theta)\\ \\ &=&t^3-3 \times \cfrac{t^2-1}{2} \times t\\ \\ &=&-\cfrac{1}{2}t^3+\cfrac{3}{2}t\\ \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} \cos 4\theta &=&1-2\sin ^2 2\theta \\ \\ &=&1-2(2\sin \theta \cos \theta)^2\\ \\ &=&1-2(t^2-1)^2\\ \\ &=&-2t^4+4t^2-1\\ \end{eqnarray*}
(3)
$\quad \sin ^3 \theta + \cos ^3 \theta=\cos 4\theta \quad より$
$\quad -\cfrac{1}{2}t^3+\cfrac{3}{2}t =-2t^4+4t^2-1$
$\quad 4t^4-t^3-8t^2+3t+2=0$
$因数定理をつかって因数分解すると$
$\quad (t-1)^2(4t^2+7t+2)=0$
$これを解いて \quad t=1,\quad \cfrac{-7 \pm \sqrt{17}}{8}$
$(1)より \quad -1 < t \leqq \sqrt{2} \quad だから \quad t=1,\quad \cfrac{-7 + \sqrt{17}}{8}$
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