筑波大学(理系) 2020年 問題4
$関数f(\theta),\ g(\theta)を、f(\theta)=\sin \theta - \cfrac{\sqrt{2}}{2},\ \ g(\theta)=\sin 2\theta \ \ と定める。xy平面上の曲線Cが、媒介変数\theta を用いて$
$\qquad x=f(\theta),\quad y=g(\theta)\quad (0 \leqq \theta \leqq \cfrac{\pi}{4}) \quad で表されている。$
$(1)\ \ 次の定積分 \ I_1,\ \ I_2,\ \ I_3\ の値を求めよ。$
\[I_1=\int _0^{\small{\cfrac{\pi}{4}}}\cos 2\theta d\theta,\quad I_2=\int _0^{\small{\cfrac{\pi}{4}}}\sin \theta \cos 2\theta d\theta,\quad I_3=\int _0^{\small{\cfrac{\pi}{4}}}\sin ^2 \theta \cos 2\theta d\theta\]
$(2)\ \ \cfrac{dy}{dx}\ を\theta の関数として表し、曲線Cの概形をxy 平面上に描け。$
$(3)\ \ 曲線C,x軸及びy軸で囲まれた図形を、y軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ。$
$(解説)$
$(1)\ \ I_2,\ I_3\ は工夫して求めます。$
$(2)\ \ \theta を消去してxy表示にすると(3)で(1)を使うことができなくなります。$
$(3)\ \ (1)の定積分の値が使われます。$
(1)
\[I_1=\int _0^{\small{\cfrac{\pi}{4}}}\cos 2\theta d\theta=\cfrac{1}{2}\big[\sin 2\theta \big]_0^{\small{\cfrac{\pi}{4}}}=\cfrac{1}{2}\]\[I_2=\int _0^{\small{\cfrac{\pi}{4}}}\sin \theta \cos 2\theta d\theta=\int _0^{\small{\cfrac{\pi}{4}}}\sin \theta (2\cos ^2 \theta -1)d\theta\] $\qquad \cos \theta=t \quad とおくと \quad -\sin \theta d\theta =dt$
\[I_2=-\int _1^{\small{\cfrac{1}{\sqrt{2}} } }(2t^2 -1)dt=\cfrac{\sqrt{2}-1}{3}\]
\begin{eqnarray*} I_3 &=&\int _0^{\small{\cfrac{\pi}{4}}}\sin ^2\theta \cos 2\theta d\theta\\ &=&\int _0^{\small{\cfrac{\pi}{4}}}\cfrac{1}{2}(1-\cos 2\theta)\cos 2 \theta d\theta\\ &=&\cfrac{1}{2}\int _0^{\small{\cfrac{\pi}{4}}}\cos 2\theta -\cfrac{1}{2}\int _0^{\small{\cfrac{\pi}{4}}} \cos ^22 \theta d\theta\\ &=&\cfrac{1}{2}\int _0^{\small{\cfrac{\pi}{4}}}\cos 2\theta -\cfrac{1}{4}\int _0^{\small{\cfrac{\pi}{4}}} (1+\cos 4 \theta) d\theta\\ &=&\cfrac{1}{4}\big[\ \sin 2\theta \ \big]_0^{\small{\cfrac{\pi}{4}}}-\cfrac{1}{4}\big[\ \theta \ \big]_0^{\small{\cfrac{\pi}{4}}}-\cfrac{1}{16}\big[\ \sin 4\theta \ \big]_0^{\small{\cfrac{\pi}{4}}}\\ &=&\cfrac{1}{4}-\cfrac{\pi}{16}\\ \end{eqnarray*}
(2)
$\qquad \cfrac{dy}{dx}=\cfrac{\cfrac{dy}{d\theta}}{\cfrac{dx}{d\theta}}=\cfrac{2\cos 2\theta}{\cos \theta} =\cfrac{2(2\cos ^2 \theta -1)}{\cos \theta}=\cfrac{4(\cos \theta +\dfrac{1}{\sqrt{2}})((\cos \theta -\dfrac{1}{\sqrt{2}})}{\cos \theta}$
$0 \leqq \theta \leqq \cfrac{\pi}{4} \quad だから \quad \cos \theta > 0,\qquad \cos \theta \pm \cfrac{1}{\sqrt{2}} \geqq 0 \qquad \therefore \cfrac{dy}{dx} \geqq 0$
$したがって、曲線はこの区間で単調増加である。$
$x,y\ の増減表は$
\[
\begin{array}{c||c|c|c|c|c}
\hline
\theta & 0 & \cdots & \cfrac{\pi}{4}\\
\hline
\cfrac{dx}{d\theta} & 1 & + & \cfrac{\sqrt{2}}{2}\\
\hline
\cfrac{dy}{d\theta} & 2 & + & 0\\
\hline
x & -\cfrac{\sqrt{2}}{2} & \nearrow & 0 \\
\hline
y & 0 & \nearrow & 1 \\
\end{array}
\]
$曲線Cの概形は右図のとおり。$
(3)
\begin{eqnarray*}
V
&=&\pi\int _0^1 x^2dy\\
&=&\pi\int _0^{\small{\cfrac{\pi}{4}}}(\sin \theta -\cfrac{\sqrt{2}}{2})^2 \cdot 2\cos 2\theta d\theta\\
&=&2\pi\Big\{\int _0^{\small{\cfrac{\pi}{4}}}\sin ^2\theta \cos 2\theta d\theta -\sqrt{2}\int _0^{\small{\cfrac{\pi}{4}}} \sin \theta \cos 2\theta d\theta +
\cfrac{1}{2}\int _0^{\small{\cfrac{\pi}{4}}}\cos 2\theta d\theta \Big\}\\
&=&2\pi(I_3 -\sqrt{2}I_2 + \cfrac{1}{2}I_1)\\
&=&2\pi\Big\{(\cfrac{1}{4}-\cfrac{\pi}{16}) -\sqrt{2}(\cfrac{\sqrt{2}-1}{3}) + \cfrac{1}{2} \times \cfrac{1}{2}\Big\}\\
&=&-\cfrac{\pi^2}{8} + \cfrac{2\sqrt{2}-1}{3}\pi\\
\end{eqnarray*}
$(補充)$
$(3)で回転体の体積を求めるために、(1)で \ I_1,\ I_2,\ I_3の定積分の値を求めましたが、まとめて$
\[I_n=\int _0^{\small{\cfrac{\pi}{4}}}\sin ^{n-1}\theta \cos 2\theta d\theta\]
$を求める漸化式を導きます。$
\[I_n=\int _0^{\small{\cfrac{\pi}{4}}}\sin ^{n-1}\theta \cos 2\theta d\theta =\int _0^{\small{\cfrac{\pi}{4}}}\sin ^{n-1} \theta (1-2\sin ^2 \theta) d\theta =
\int _0^{\small{\cfrac{\pi}{4}}}\sin ^{n-1} \theta d\theta -2\int _0^{\small{\cfrac{\pi}{4}}}\sin ^{n+1} \theta d\theta\]
\[\quad J_n=\int _0^{\small{\cfrac{\pi}{4}}}\sin ^{n-1}\theta d\theta \quad とおくと \quad I_n=J_n-2J_{n+2} \]
\begin{eqnarray*}
J_n
&=&\int _0^{\small{\cfrac{\pi}{4}}}\sin ^{n-2}\theta \cdot \sin \theta d\theta\\
&=&\big[\sin ^{n-2}\theta (-\cos \theta )\big]_0^{\small{\cfrac{\pi}{4}}}
-\int _0^{\small{\cfrac{\pi}{4}}}(n-2)\sin ^{n-3}\theta \cos \theta (-\cos \theta) d\theta\\
&=&-(\cfrac{\sqrt{2}}{2})^{n-1} +(n-2)\int _0^{\small{\cfrac{\pi}{4}}}\sin ^{n-3}\theta \cos ^2 \theta d\theta\\
&=&-(\cfrac{\sqrt{2}}{2})^{n-1} +(n-2)\int _0^{\small{\cfrac{\pi}{4}}}\sin ^{n-3}\theta (1-\sin ^2 \theta) d\theta\\
&=&-(\cfrac{\sqrt{2}}{2})^{n-1} +(n-2)J_{n-2}-(n-2)J_n\\
\end{eqnarray*}
$(n-1)J_n=-(\cfrac{\sqrt{2}}{2})^{n-1} +(n-2)J_{n-2}$
$J_n=-\cfrac{1}{n-1}(\cfrac{\sqrt{2}}{2})^{n-1} +\cfrac{n-2}{n-1}J_{n-2}$
$J_1,\ J_2\ を求めておいて、この漸化式をつかって順次 \ J_3,\ J_4,\cdots を求めます。$
\[J_1=\int _0^{\small{\cfrac{\pi}{4}}}d\theta =\cfrac{\pi}{4}\]
\[J_2=\int _0^{\small{\cfrac{\pi}{4}}}\sin \theta d\theta=\big[-\cos \theta \big]_0^{\small{\cfrac{\pi}{4}}}=1-\cfrac{\sqrt{2}}{2}\]
$\quad J_3=-\cfrac{1}{2}(\cfrac{\sqrt{2}}{2})^2 +\cfrac{1}{2}J_1=-\cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{2} \times \cfrac{\pi}{4}= \cfrac{\pi}{8}-\cfrac{1}{4}$
$\quad J_4=-\cfrac{1}{3}(\cfrac{\sqrt{2}}{2})^3 +\cfrac{2}{3}J_2=-\cfrac{\sqrt{2}}{12}+\cfrac{2}{3} \times (1-\cfrac{\sqrt{2}}{2})=\cfrac{2}{3}-\cfrac{5\sqrt{2}}{12}$
$\quad J_5=-\cfrac{1}{4}(\cfrac{\sqrt{2}}{2})^4 +\cfrac{3}{4}J_3=-\cfrac{1}{16}+\cfrac{3}{4} \times (\cfrac{\pi}{8}-\cfrac{1}{4})=\cfrac{3\pi}{32}-\cfrac{1}{4}$
$\hspace{5em} \vdots$
$次に、関係式 \quad I_n=J_n-2J_{n+2}\quad をつかって順次 \ I_1,\ I_2,\ I_3,\cdots を求めることができます。$
$\quad I_1=J_1-2J_3=\cfrac{\pi}{4}-2(\cfrac{\pi}{8}-\cfrac{1}{4})=\cfrac{1}{2}$
$\quad I_2=J_2-2J_4=1-\cfrac{\sqrt{2}}{2}-2(\cfrac{2}{3}-\cfrac{5\sqrt{2}}{12})=\cfrac{\sqrt{2}-1}{3}$
$\quad I_3=J_3-2J_5=\cfrac{\pi}{8}-\cfrac{1}{4}-2(\cfrac{3\pi}{32}-\cfrac{1}{4})=\cfrac{1}{4}-\cfrac{\pi}{16}$
$\hspace{5em} \vdots $
メインメニュー に戻る