私の数学ノート

東京都立大学(数理) 2026年　問題3


$複素数平面において、方程式\ \ |z-1+i|=|z| \ \ をみたす点 \ ｚ\ 全体の集合として定められる直線を \ \ell とする。$
$ただし、i\ は虚数単位とする。複素数平面上の \ 3\ 点 \ A(\alpha),\ B(\beta),\ C(\gamma)\ は \ \ \beta=\alpha +1+i,\ \ \alpha \gamma =1 \ \ をみたすと$
$する。以下の問いに答えなさい。$
$(1)\ \ 点 \ A \ が直線 \ \ell \ 上にあるとき、点 \ B\ も直線 \ \ell \ 上にあることを示しなさい。$ $(2)\ \ 点 \ A \ が直線 \ \ell \ 上を動くとき、点 \ C\ の描く図形が円の一部分であることを示し、その図形を複素数平面上に$
$\quad 図示しなさい。$ $(3)\ \ 点 \ A\ が直線 \ \ell \ 上を動くとき、\triangle ABC\ の面積 \ S\ の最大値を求めなさい。ただし、3\ 点 \ A,\ B,\ C\ が一直線上に$
$\quad あるときは、S=0\ とする。$


(1)


$z=x+yi\ \ (x,\ y\ は実数)\ \ とおく$

$|z-1+i|=|z| \ \ より \quad |x-1+(y+1)i|=|x+yi|$

$(x-1)^2+(y+1)^2=x^2+y^2$

$-2x+2y+2=0$

$\therefore \ \ \ell : \ y=x-1$

　

$\alpha=a+bi,\ \ \beta=c+di\ \ (a,\ b,\ c,\ d\ は実数)\ \ とおくと$

$\beta=\alpha +1+i \ \ より \quad c+di=(a+bi)+1+i$

$c+di=a+1+(b+1)i \qquad \therefore \ \ c=a+1,\quad d=b+1$

$点 \ A(\alpha) \ が直線 \ \ell \ 上にあれば \quad b=a-1$

$このとき$

$d-c=(b+1)-(a+1)=a-(a+1)=-1 $

$よって、点 \ B(\beta)\ も直線 \ \ell \ 上にある。$

(2)


$点 \ A(\alpha) \ が直線 \ \ell \ 上を動くとき \quad |\alpha -1+i|=|\alpha| $

$\alpha \gamma =1 \ \ より \quad \alpha=\dfrac{1}{\gamma} \ \ を代入して \quad \big|\dfrac{1}{\gamma}-1+i\big|=\big|\dfrac{1}{\gamma}\big|$

$\big|\dfrac{1-(1-i)\gamma}{\gamma}\big|=\big|\dfrac{1}{\gamma}\big|$

$|1-(1-i)\gamma\big|=1$

　

$|1-i|\big|\gamma - \dfrac{1}{1-i}\big|=1$

$\sqrt{2}\big|\gamma - \dfrac{1+i}{2}\big|=1$

$\big|\gamma - \dfrac{1+i}{2}\big|=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

$よって\ \ C(\gamma)\ は \ \ 中心 \ \ (\dfrac{1+i}{2}),\ \ 半径 \ \ \dfrac{1}{\sqrt{2}} \ \ の円をえがく$

$ただし、\ \gamma =0 \ を除く。$

$その図形は右図のオレンジ色の円で、原点を除く$

$なお、中心と直線\ \ell \ 上の点(1,\ 0)\ の距離は \ \ \dfrac{1}{\sqrt{2}}\ \ で、半径に等しいから$

$円と \ \ell\ は点(1,\ 0)\ で接する。$


(3)

　

$AB=|\beta - \alpha|=|1+i|=\sqrt{2}$

$\triangle ABC \ の高さ \ h\ は点 \ C\ から直線 \ AB\ に下ろした垂線 \ m\ の長さとすると$

$\triangle ABC\ の面積 \ S\ が最大となるのは \ h\ が最大のときで、$

$m\ が円の中心 \ (\dfrac{1+i}{2})\ \ を通るときである。$

$\ell \ の傾きは \ 1\ であるから、m\ の傾きは \ \ -1$

$よって \ \ m\ は \ \ y=-(x-\dfrac{1}{2})+\dfrac{1}{2}$

$すなわち \ \ m:\ y=-x+1$

$\ell \ と \ m\ の交点は \quad x-1=-x+1 \ \ より \quad x=1,\ \ y=0 $

$よって \quad h=\sqrt{2}$

$S\ の最大は、S=\dfrac{1}{2} \times AB \times h=\dfrac{1}{2} \times \sqrt{2} \times \sqrt{2}=1$


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