東京都立大学(数理) 2026年　問題2


$r\ を \ r > 1\ をみたす実数とし、座標平面上の \ 3\ 点O(0,\ 0),\ A(r-1,\ r-1),\ B(r^2-1,\ r^2-1)\ を考える。$
$以下の問いに答えなさい。$
$(1)\ \ 点P(x,\ y)\ が \ \ BP:OP=r:1 \ \ をみたしながら動くとき、点P\ の軌跡を求めなさい。$
$(2)\ \ (1)の点P\ に対し、等式 \ \vec{PA}\cdot \vec{PB} =r(r+1)(2r-2-x-y) \ \ が成り立つことを示しなさい。$
$(3)\ \ (1)の点Pに対し、点P\ と点A\ が異なるならば等式 \ \ \angle OPA=\angle APB \ \ が成り立つことを示しなさい。$


(1)


$BP:OP=r:1 \ \ より \quad BP=rOP$

$\big(x-(r^2-1)\big)^2+\big(y-(r^2-1)\big)^2=r^2(x^2+y^2)$

$x^2-2(r^2-1)x+(r^2-1)^2+y^2-2(r^2-1)y+(r^2-1)^2=r^2(x^2+y^2)$

$(r^2-1)x^2+(r^2-1)y^2+2(r^2-1)x+2(r^2-1)y=2(r^2-1)^2$

$r > 1\ \ だから \ \ 両辺を \ \ r^2-1\ \ で割って$

　

$x^2+y^2+2x+2y=2(r^2-1)$

$(x+1)^2+(y+1)^2=2r^2$

$よって 点P\ の軌跡は、中心C(-1,\ -1) ,\ \ 半径 \ \ \sqrt{2}r \ \ の円$

$(補充)$

$2\ 定点からの距離の比が一定の点の軌跡は円である。$

$この円を「アポロニウスの円」と言います。$


(2)

\begin{eqnarray*} & &\vec{PA}\cdot \vec{PB}\\ \\ &=&(r-1-x,r-1-y) \cdot (r^2-1-x,r^2-1-y)\\ \\ &=&(r-1-x)(r^2-1-x)+(r-1-y)(r^2-1-y)\\ \\ &=&(r-1)(r^2-1)-(r-1+r^2-1)x+x^2 + (r-1)(r^2-1)-(r-1+r^2-1)y+y^2\\ \\ &=&2(r-1)(r^2-1)-(r^2+r-2)(x+y)+x^2 + y^2\\ \\ &=&2(r-1)(r^2-1)-(r^2+r-2)(x+y)-2(x+y)+2(r^2-1)\\ \\ &=&2r(r^2-1)-(r^2+r)(x+y)\\ \\ &=&2r(r+1)(r-1)-r(r+1)(x+y)\\ \\ &=&r(r+1)(2r-2-x-y) \end{eqnarray*}

(3)

　

$OA^2=(r-1)^2+(r-1)^2=2(r-1)^2$

$\therefore OA=\sqrt{2}(r-1)$

$AB^2=\big\{(r^2-1)-(r-1)\big\}^2+\big\{(r^2-1)-(r-1)\big\}^2=2(r^2-r)^2=2r^2(r-1)^2$

$\therefore AB=\sqrt{2}r(r-1)$

$よって$

$OA:AB=\sqrt{2}(r-1):\sqrt{2}r(r-1)=1:r$

$また、(1)の仮定より \quad BP:OP=r:1 \qquad \therefore \ \ PO:PB=1:r$

$したがって \ \ \triangle POB \ \ と線分 \ PA\ において \quad PO:PB=OA:AB \ \ が成りたつから$

$PA \ は \ \angle OPB \ の二等分線である。$

$すなわち \quad 点P\ と点A\ が異なるならば\ \ \angle OPA=\angle APB \ \ が成り立つ。$


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