東京都立大学(数理) 2026年 問題1
$関数 \ f(x)\ を \ \ f(x)=\sqrt{x}e^{-\scriptsize{\dfrac{x}{2}}}\ \ (x > 0)\ \ と定める。a\ を \ a > 0\ をみたす実数とし、曲線 \ y=f(x)\ と \ x\ 軸および$
$2\ 直線 \ x=a,\ \ x=a+1\ で囲まれた部分を、x\ 軸の周りに \ 1\ 回転させてできる回転体の体積を \ V(a)\ とする。$
$以下の問いに答えなさい。$
$(1)\ \ 関数 \ f(x)\ の導関数 \ f'(x)\ を求めなさい。$
\[(2)\ \ 不定積分 \ \ \int xe^{-x} dx \ \ を求めなさい。\]
$(3)\ \ V(a)\ を \ a\ を用いて表しなさい。$
$(4)\ \ a \ が\ a > 0\ の範囲を動くとき、V(a)\ が最大となる \ a\ の値を求めなさい。$
(1)
$f(x)=x^{\scriptsize{\dfrac{1}{2}}}e^{-\scriptsize{\dfrac{x}{2}}} \ \ より$
\begin{eqnarray*} f'(x) &=&\dfrac{1}{2}x^{-\scriptsize{\dfrac{1}{2}}}e^{-\scriptsize{\dfrac{x}{2}}}+x^{\scriptsize{\dfrac{1}{2}}}\big(\dfrac{1}{2}\big)e^{-\scriptsize{\dfrac{x}{2}}}\\ \\ &=&\dfrac{1}{2}e^{-\scriptsize{\dfrac{x}{2}}}\big(x^{-\scriptsize{\dfrac{1}{2}}}-x^{\scriptsize{\dfrac{1}{2}}}\big)\\ \\ &=&\dfrac{1}{2}e^{-\scriptsize{\dfrac{x}{2}}}\big(\dfrac{1}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}\big)\\ \\ &=&\dfrac{1-x}{2\sqrt{x}}e^{-\scriptsize{\dfrac{x}{2}}} \end{eqnarray*}
(2)
\begin{eqnarray*} & &\int xe^{-x} dx\\ \\ &=&-xe^{-x}+ \int e^{-x} dx\\ \\ &=&-xe^{-x} -e^{-x}+C\\ \\ &=&-(x+1)e^{-x}+C \quad (C は積分定数) \end{eqnarray*}
(3)
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} x & 0 & \cdots & 1 & \cdots \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - \\ \hline f(x) & & \nearrow & 極大 & \searrow & \\ \end{array} \]
$f(x)\ は \ x=1\ のとき極大値 \ \ f(1)=e^{-\scriptsize{\dfrac{1}{2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{e}}\ \ をもち$
$グラフは右図のとおり$
$求める回転体の体積 \ V(a)\ は$
\begin{eqnarray*} V(a) &=&\pi \int_a^{a+1}\big(f(x)\big)^2dx\\ \\ &=&\pi \int_a^{a+1}xe^{-x}dx \\ \\ &=&\pi \big[-(x+1)e^{-x}\big]_a^{a+1} \hspace{5em}((2) より)\\ \\ &=&\pi\big\{(a+1)e^{-a}-(a+2)e^{-(a+1)}\big\}\\ \\ &=&\pi e^{-a}\big\{(a+1)-\dfrac{a+2}{e}\big\}\\ \\ &=&\pi e^{-a}\big\{(1-\dfrac{1}{e})a+1-\dfrac{2}{e}\big\}\\ \end{eqnarray*}
(4)
$(3) より \ \ V(a)=\pi e^{-a}\big\{(1-\dfrac{1}{e})a+1-\dfrac{2}{e}\big\} \ \ だから$
\begin{eqnarray*} V'(a) &=&-\pi e^{-a}\big\{(1-\dfrac{1}{e})a+1-\dfrac{2}{e}\big\}+\pi e^{-a}(1-\dfrac{1}{e})\\ \\ &=&-\pi e^{-a}\big\{(1-\dfrac{1}{e})a +1-\dfrac{2}{e}-1+\dfrac{1}{e}\big\}\\ \\ &=&-\pi e^{-a}\big\{(1-\dfrac{1}{e})a -\dfrac{1}{e}\big\}\\ \\ &=&-\pi e^{-(a+1)}\big\{(e-1)a -1\}\\ \end{eqnarray*}
$V'(a)=0 \ \ より \quad a=\dfrac{1}{e-1}$
$V(a)の増減表$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} a & 0 & \cdots & \dfrac{1}{e-1} \cdots \\ \hline V'(a) & & + & 0 & - \\ \hline V(a) & & \nearrow & 極大 & \searrow & \\ \end{array} \]
$V(a)\ は \ \ a=\dfrac{1}{e-1}\ \ のとき極大かつ最大となり最大値は$
\begin{eqnarray*} & &V\big(\dfrac{1}{e-1}\big)\\ \\ &=&\pi e^{\scriptsize{-\dfrac{1}{e-1}}}\big\{(1-\dfrac{1}{e}) \times \dfrac{1}{e-1} +1-\dfrac{2}{e}\big\}\\ \\ &=&\pi e^{\scriptsize{-\dfrac{1}{e-1}}}\big(\dfrac{1}{e} +1-\dfrac{2}{e}\big)\\ \\ &=&\pi e^{\scriptsize{-\dfrac{1}{e-1}}}\big(1-\dfrac{1}{e}\big) \end{eqnarray*}
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